4. Morris轨迹设计与抽样策略

Morris筛选法的核心思想，是用“一次只动一个参数”的基路径（Elementary Effect）来估计每个输入对输出的影响。而基路径并不是孤立计算的，它必须依附在一条轨迹上：轨迹给出参数空间中的一条折线路径，路径上相邻两点只有一个参数发生变化，两点输出之差除以参数步长，就得到一个基路径值。因此，轨迹设计直接决定了我们能采到哪些基路径、基路径之间是否相互独立，也直接决定了最终筛选结论的可信度。本节围绕轨迹构造、随机起点与方向生成、样本量确定，以及不同设计对筛选结果的影响展开。

一、轨迹构造：从网格到折线

Morris方法先把每个参数归一化到 [0,1] 区间，并离散为 p 个水平，常用 p 取 4、6、8 等偶数，使步长 Δ = p / (2(p−1)) 便于构造。一条含 k 个参数的轨迹由 k+1 个点组成：起点随机给定，之后每步只让一个参数沿 ±Δ 移动，其余参数保持不变。若某参数当前值加上 Δ 会越界，则该步取 −Δ，从而保证点始终落在 [0,1] 内。

构造时通常先生成一个长度为 k 的“参数顺序向量”，决定第几步动哪个参数；再生成一个长度为 k 的“方向向量”，每个元素取 +1 或 −1，表示该参数是加 Δ 还是减 Δ。把顺序与方向组合起来，就得到一条确定的折线。例如 k=3、p=4、Δ=2/3，起点为 (0.33, 0.33, 0.33)，顺序为 (2,1,3)，方向为 (+1,−1,+1)，则轨迹点为：

P0 = (0.33, 0.33, 0.33)
P1 = (0.33, 1.00, 0.33)   # 参数2 +Δ
P2 = (0.33, 1.00, 0.00)   # 参数1 −Δ（0.33−0.67 越界，改取 −Δ 后为 0.00）
P3 = (1.00, 1.00, 0.00)   # 参数3 +Δ

注意 P2 这一步：参数1原值 0.33 减 Δ 会得到负值，因此方向实际被“翻转”为向下取到 0.00。这种边界处理是轨迹构造中必须显式实现的细节，否则会生成非法点，导致基路径计算失真。

二、随机起点与方向生成

单条轨迹只能给出 k 个基路径，且这些基路径共享同一组基准点，估计方差较大。标准做法是重复生成 r 条轨迹，每条轨迹使用独立的随机起点和随机方向，再把 r×k 个基路径合并统计。随机化的目的是让不同轨迹覆盖参数空间的不同区域，降低基路径之间的相关性。

工程实现上，起点通常在每个参数的离散水平集合中均匀抽取，方向向量每个分量以 0.5 概率取 ±1，参数顺序则做一次随机排列。需要强调的是：随机种子必须记录。筛选结果需要可复现，若只保存均值与标准差而不保存种子与轨迹矩阵，后续复核将无法重建同一组样本。建议把每次运行的种子、p、Δ、r、k 一并写入结果文件。

三、样本量确定原则

Morris的总样本量为 N = r(k+1)，其中 r 为轨迹数，k 为参数个数。样本量确定的核心不是“越多越好”，而是在基路径估计稳定性与计算成本之间取平衡。常用原则有三条：

• 下限原则：r 至少取 10，才能对每个参数的基路径均值与标准差做出粗略的分布判断；r 小于 5 时，标准差几乎不可信。
• 收敛原则：逐步增大 r，观察各参数基路径均值与标准差的相对变化；当主要参数的排序在连续两次增量后不再改变，可认为样本量已足够。
• 成本原则：若单次模型运行耗时较长，可先以 r=10 做粗筛，剔除明显不敏感参数后，再对保留参数以更大 r 复算，形成两级筛选。

以 k=8、r=10 为例，N=10×9=90 次运行；若 r 提高到 30，则 N=270。实际项目中常以“参数排序稳定”而非固定 r 作为停止依据。

四、不同轨迹设计对筛选结果的影响

轨迹设计并非“只要随机就行”，不同策略会显著改变筛选结论。第一，轨迹数 r 过小时，基路径均值受个别轨迹的偶然性影响大，原本中等敏感的参数可能被误判为不敏感，或反之。第二，方向向量若全部取正，所有基路径都朝参数增大方向计算，遇到强非线性或饱和型响应时，会系统性低估该参数的影响。第三，参数顺序若固定不变，不同轨迹的基准点高度重叠，基路径之间相关性上升，标准差被低估，容易把“交互明显”的参数误判为“仅主效应”。

因此，工程上推荐的做法是：方向向量逐分量独立随机、参数顺序每轨迹重新排列、起点在可行域内均匀抽取，并保留至少 r=10。若筛选结果中某参数的基路径均值接近零但标准差很大，说明该参数存在明显的非线性或交互作用，不能简单判为“不敏感”，而应结合σ—μ散点图进一步判断。这也是Morris方法相比一次一因子法更有价值的地方：它不仅给出主效应强度，还通过基路径离散程度提示交互与非线性。

综上，轨迹设计是Morris筛选的“采样骨架”：构造规则决定样本合法性，随机起点与方向决定覆盖度与独立性，样本量决定估计稳定性，而三者的组合最终决定筛选结论是否可信。实际应用中应把轨迹矩阵、随机种子与参数设置一并归档，使筛选过程可复现、可复核。