3. 数值校验的核心指标与误差度量

守恒定律的数值校验，本质上是在回答一个问题：数值解在多大程度上偏离了它本应严格保持的守恒关系。要回答这个问题，不能只凭“看起来差不多”，而需要一组定义清晰、量纲明确、可横向比较的误差指标。本节围绕绝对误差、相对误差、L1/L2/L∞ 范数、守恒量漂移率与收敛阶展开，并给出指标选取与工程阈值的设定思路。

一、从单点误差到全场误差

设数值解为 u_h，参考解（解析解或高精度解）为 u_ref，在第 i 个离散点上的误差定义为 e_i = u_h,i − u_ref,i。注意符号约定：本节统一采用“数值解减参考解”，因此正误差表示数值解偏大。绝对误差 |e_i| 保留物理量纲，适合判断某一点是否超出允许偏差；相对误差 |e_i| / |u_ref,i| 无量纲，适合跨量级比较，但当参考值接近零时会急剧放大甚至失去意义，此时应改用绝对误差或引入分母保护 max(|u_ref,i|, ε)。

单点误差无法刻画整体精度，于是引入范数。对 N 个离散点：

L1  = (1/N) · Σ |e_i|            平均绝对误差，反映整体偏差水平
L2  = sqrt( (1/N) · Σ e_i² )     均方根误差，对大误差更敏感
L∞  = max |e_i|                  最大误差，反映最坏点

三者的工程含义不同：L1 平滑，适合评估平均精度；L2 会放大个别大偏差，常用于优化目标与稳定性评估；L∞ 直接对应“最坏情况”，是安全校核与阈值判定的首选。实际校验中建议三者同时输出，若 L∞ 远大于 L1，说明误差集中在局部（如激波面、边界层、源项附近），应回到网格与格式层面排查，而不是简单加密全局网格。

二、守恒量漂移率：守恒校验的主指标

守恒定律校验关注的不是逐点误差，而是守恒总量的时间演化。设守恒量 Q(t) = ∫ u dΩ，数值离散后为 Q_h(t) = Σ u_i V_i。定义相对漂移率：

δ(t) = |Q_h(t) − Q_h(0)| / |Q_h(0)|

若存在外部通量，则应扣除边界通量的累积贡献后再计算，否则会把物理输运误判为守恒破坏。工程上常同时记录漂移率的瞬时值与时间累积值，并关注其增长趋势：一个合格格式的漂移率应随步数近似线性缓慢增长（舍入误差累积），若出现阶跃式跳变，往往意味着边界处理、限制器或源项离散存在缺陷。

三、收敛阶的计算与验证

收敛阶是判断离散格式是否按理论精度工作的关键。设网格尺度为 h，误差为 E(h)，若 E(h) ≈ C·h^p，则用两组网格可得：

p = log( E(h₁) / E(h₂) ) / log( h₁ / h₂ )

例如取 h₁ = 0.1、h₂ = 0.05，测得 L∞ 误差分别为 3.2e-3 与 8.1e-4，则 p = log(3.95)/log(2) ≈ 1.98，与二阶格式的理论值 2 吻合。工程上建议用三组网格做最小二乘拟合，并检查相邻两点算出的 p 是否稳定；若 p 明显低于理论值，常见原因是边界处理降阶、限制器在光滑区被激活、或参考解本身精度不足。需要强调：收敛阶必须用同一范数、同一参考解、同一输出时刻计算，否则比较无效。

四、指标选取原则与工程阈值

指标选取应遵循“与校验目标对齐”的原则：验证格式精度用 L2 与收敛阶；验证守恒性用漂移率 δ；安全校核与最坏情况评估用 L∞；跨量级、跨算例比较用相对误差。阈值设定没有普适数值，应结合物理量级、容许偏差与计算成本确定。下表给出一组示例性参考（属于合理假设，非实测结论）：

实践中建议把上述指标固化为一次校验的输出清单：同一算例至少输出 L1、L2、L∞、δ 与 p 五项，并附上网格、时间步、参考解来源与输出时刻。这样既能让单次校验结论可追溯，也能让不同算例之间的精度对比建立在同一口径之上。