2. 物理守恒定律的数学表述与数值离散基础
数值校验的第一步，不是打开软件跑算例，而是把“守恒”写成可被离散方程逐项核对的数学形式。只有先明确连续形式的守恒律，才能判断离散格式是否在代数层面保持了同一守恒性质，进而定位误差来源。本节围绕质量、动量、能量三类守恒律的积分与微分表述，讨论有限差分与有限体积离散对守恒性的不同影响，并给出离散守恒误差的分类框架。
一、积分形式与微分形式：同一物理事实的两种写法
守恒律的积分形式针对有限控制体，表述为“控制体内守恒量的时间变化率 = 穿过边界的净通量 + 体内源项”。以标量守恒量 φ 为例，对任意控制体 V（边界为 ∂V，外法向为 n）有：
d/dt ∫_V φ dV + ∮_∂V (F·n) dA = ∫_V S dV其中 F 为通量矢量，S 为单位体积源项。积分形式不要求场量连续可微，因此对含激波、间断或强梯度的流动问题更本质，也是有限体积法的直接出发点。
若 φ 与 F 在区域内足够光滑，应用高斯散度定理并令控制体任意收缩，得到微分形式：
∂φ/∂t + ∇·F = S对质量守恒，φ = ρ，F = ρu，S = 0，即 ∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0；对动量守恒，φ 为动量密度分量，F 为对流通量加压力与黏性应力张量，S 为体积力；对能量守恒，φ 为总能量密度，F 包含对流传热、压力做功与热传导通量。三类方程的共同结构是“时间项 + 通量散度 = 源项”，这正是离散校验时逐项对账的骨架。
二、有限差分与有限体积对守恒性的不同影响
有限差分法直接在网格节点上近似偏导数。以一元均匀网格、间距 Δx 为例，对 ∂φ/∂t + ∂f/∂x = 0 采用显式欧拉时间推进与中心空间差分：
φ_i^(n+1) = φ_i^n - (Δt/(2Δx))·(f_(i+1)^n - f_(i-1)^n)该格式在节点层面是“局部”的：它并不保证离散域内 φ 的总量严格守恒。若把全域所有节点方程相加，内部通量项成对出现但符号与系数并不必然完全抵消，只有当差分算子具有“通量差分”的紧致结构（即写成 f_(i+1/2) − f_(i-1/2) 的形式）时，内部项才会逐对消去，总量变化才只由边界通量决定。因此，有限差分的守恒性取决于格式是否可写成通量差分形式，而非取决于精度阶数。
有限体积法则从积分形式出发，对每个控制体直接离散：
(φ_i^(n+1) - φ_i^n)·V_i/Δt + Σ_f (F_f·n_f)·A_f = S_i·V_i相邻控制体共享同一个面，面上通量 F_f 只计算一次，一侧记为流出、另一侧记为流入，符号相反、数值相同。把所有控制体方程相加，内部面通量严格两两抵消，全域守恒量变化只等于边界通量与源项之和。这是有限体积法“天生守恒”的代数根源，也是它在守恒律校验中更受青睐的原因。
三、离散守恒误差的来源分析
即便格式在代数上守恒，数值校验中仍会观察到守恒量漂移。误差来源可归为四类，校验时应逐类排查而非笼统归因于“精度不够”。
- 通量不一致误差：同一面上两侧采用不同重构或不同限制器，导致流出与流入数值不等。常见于非结构网格上分别从两侧面法向计算通量，或界面两侧使用不同物性。校验方法：对每个内部面输出两侧通量差值，理论上应为机器零量级。
- 时间离散误差：显式格式中时间项与通量项不在同一时刻取值，导致离散守恒量在时间推进中产生非物理增减。可用“全域守恒量随时间的变化曲线”观察：若边界通量与源项已精确计入，曲线斜率应等于边界净通量，偏离量即为时间离散引入的守恒误差。
- 边界处理误差：边界通量未按与内部一致的方式计入，或壁面通量被错误置零而实际存在质量泄漏。校验时单独统计边界通量积分，与全域守恒量变化对账。
- 源项与舍入误差：源项离散与通量离散不匹配（如源项用节点值而通量用面值），以及大规模累加中的浮点舍入。后者通常量级很小，但长时间积分会累积，需用双精度或补偿求和。
一个可直接执行的校验流程是：先计算全域守恒量 Q(t) = Σ φ_i V_i，再计算边界净通量与源项积分之和 R(t)，检查 dQ/dt 与 R 的偏差。以二维方腔纯扩散算例为例（示例参数：网格 64×64，Δx = Δy = 0.01 m，扩散系数 1×10⁻⁵ m²/s，初始方波分布，时间步 1×10⁻³ s，共 2000 步），若采用守恒型有限体积离散，总质量相对漂移应处于 10⁻¹² 量级；若改用非守恒型中心差分，同样算例下相对漂移可达 10⁻³ 量级。该组数据为教学示例设定，用于说明量级差异，实际数值随格式与实现而异。
综上，连续形式的积分与微分表述给出了守恒的物理基准，有限体积的共享面通量结构提供了代数守恒的保证，而有限差分的守恒性需要格式设计来构造。离散守恒误差的排查应围绕“面通量一致性、时间项匹配、边界计入、源项与舍入”四条线索展开，用全域守恒量对账作为统一判据。