3. 概率分布抽样方法

蒙特卡洛仿真的核心动作，是把“不确定性”变成一串可计算的随机数。计算机能直接提供的只有均匀分布随机数 U ~ Uniform(0,1)，而仿真中真正需要的是正态分布的服务时间、指数分布的故障间隔、泊松分布的到达人数、伽马分布的累积损伤等。因此，抽样方法的任务就是：把均匀随机数确定性地变换为目标分布的随机数。本节围绕逆变换法、拒绝采样法、Box-Muller 变换三条主线，并给出正态、指数、泊松、伽马四类常见分布的抽样实现要点。

一、逆变换法：用累积分布函数的反函数“搬运”随机性

逆变换法（Inverse Transform Method）适用于累积分布函数 F(x) 可解析求逆的分布。其原理是：若 U ~ Uniform(0,1)，令 X = F⁻¹(U)，则 X 的分布函数恰为 F。直观理解是：U 在纵轴上均匀落点，经过 F⁻¹ 映射后，落点密集处对应概率密度高的区间。

以指数分布为例，F(x) = 1 - e^(-λx)，反解得 X = -ln(1-U)/λ。由于 1-U 与 U 同为均匀分布，工程上常直接写 X = -ln(U)/λ。假设某设备故障间隔服从 λ = 0.02 次/小时的指数分布（均值 50 小时），取 U = 0.35，则 X = -ln(0.35)/0.02 ≈ 52.5 小时。这个计算过程完全可复现，是逆变换法最典型的落地形式。

离散分布同样可用逆变换法，只是把反函数换成“累积概率区间查找”。泊松分布 P(X=k) = e^(-λ)λ^k/k! 没有简单的闭式反函数，实践中采用累积求和加搜索：先计算 p₀ = e^(-λ)，再递推 pₖ = pₖ₋₁·λ/k，累加至超过 U 时返回对应的 k。当 λ 较大时，这种线性搜索效率下降，可改用正态近似或接受-拒绝类算法。

# 逆变换法：指数分布抽样（Python 伪代码）
import math, random

def sample_exp(lam):
    u = random.random()          # U ~ Uniform(0,1)
    return -math.log(u) / lam    # F⁻¹(U)

# 示例：λ=0.02，抽 5 个故障间隔
for _ in range(5):
    print(round(sample_exp(0.02), 2))

二、拒绝采样法：用“易抽分布”包裹“难抽分布”

当目标密度 f(x) 难以直接抽样或求逆时，拒绝采样法（Rejection Sampling）提供了一条通用路径。选一个容易抽样的提议分布 g(x)，并找到常数 M 使 f(x) ≤ M·g(x) 对所有 x 成立。每次从 g 抽一个候选值 Y，再抽 U ~ Uniform(0,1)，若 U ≤ f(Y)/(M·g(Y)) 则接受 Y，否则拒绝并重抽。

接受率等于 1/M，因此 M 越接近 1 效率越高；M 过大时大量候选被丢弃，计算浪费严重。以用均匀分布 g(x)=1（区间 [0,1]）抽取密度 f(x)=2x 为例，取 M=2，接受条件为 U ≤ Y，理论接受率 50%。这说明拒绝采样不是“免费”的，它用计算量换取了实现上的通用性。

三、Box-Muller 变换：两个均匀数生成一对正态数

正态分布没有闭式反函数，逆变换法不直接适用。Box-Muller 变换利用极坐标思想：取两个独立均匀数 U₁、U₂，令 R = √(-2ln U₁)，θ = 2πU₂，则 Z₁ = R·cosθ、Z₂ = R·sinθ 是两个独立的标准正态随机数。一次计算产出两个样本，效率较高。

实际实现中要注意 U₁ 不能取 0，否则对数发散；通常用 1-U₁ 或对随机数做开区间保护。若需要 N(μ, σ²)，再作线性变换 X = μ + σZ。例如 μ=100、σ=15，得到 Z=-0.8 时，X = 100 + 15×(-0.8) = 88。这一变换保持分布形状不变，只改变位置和尺度。

四、常见分布的抽样实现与选择依据

伽马分布 Gamma(α, β) 的抽样需分情况：当形状参数 α 为整数时，可视为 α 个独立指数分布之和，逐个逆变换后相加即可；当 α 非整数时，常用 Marsaglia-Tsang 方法，结合正态提议与拒绝修正。指数分布是 α=1 的伽马特例，因此指数抽样代码可作为伽马整数情形的构件复用。

选择哪种方法，取决于分布是否可求逆、密度是否已知、对效率的要求。逆变换法简单稳定、便于方差缩减（如分层抽样、对偶变量），应优先考虑；拒绝采样法通用但有效率损耗；Box-Muller 专用于正态且成对产出。下表汇总四类分布的推荐实现路径。

实现层面还有两个容易踩坑的细节。第一是参数化约定：伽马分布有“形状-尺度”和“形状-率”两种写法，β 是尺度还是率会直接导致结果差一个量级，代码注释中必须写清。第二是随机数质量：逆变换法对均匀随机数的均匀性很敏感，若底层生成器周期短或存在相关性，抽样结果会系统性偏移，建议使用经过检验的生成器并固定随机种子以便复现。

验证抽样是否正确，不必依赖复杂统计检验，先做三件事即可：一是直方图与理论密度对比，观察形状是否吻合；二是检查样本均值与方差是否接近理论值（如指数分布均值 1/λ、方差 1/λ²）；三是重复多次抽样，观察统计量是否稳定。若直方图出现截断、堆积或明显偏斜，应优先排查反函数推导、接受条件符号和参数化约定，而不是急于更换算法。