2. 随机数与伪随机数生成
蒙特卡洛仿真的全部结论，最终都建立在“随机数”这一基础原料之上。若把仿真模型比作一台机器，随机数就是它的燃料：燃料不纯，机器再精密也输出不了可信结果。本节围绕四个关键问题展开：均匀随机数生成器的原理、线性同余法、梅森旋转算法，以及随机数质量检验与种子管理。
一、均匀随机数生成器在做什么
严格意义上的真随机数来自物理过程（热噪声、放射性衰变等），而计算机仿真中使用的绝大多数是伪随机数：由一个确定性算法，从一个初始状态（种子）出发，递推产生一列看似随机的数。其核心要求是：序列在统计上近似独立同分布的 U(0,1) 均匀分布，同时具有足够长的周期、可复现性和可移植性。
均匀随机数是“母随机数”。任意分布的抽样都可由它变换得到：逆变换法用 X = F⁻¹(U)，Box-Muller 法用两个均匀数生成正态变量，拒绝采样法用均匀数做候选与判据。因此，均匀随机数生成器（Uniform Random Number Generator, URNG）的质量，直接决定后续所有分布抽样的质量。
二、线性同余法：最经典的递推结构
线性同余法（LCG）的递推式为：
X(n+1) = (a * X(n) + c) mod m
U(n+1) = X(n+1) / m其中 m 为模数，a 为乘子，c 为增量，X(0) 为种子。当 c = 0 时称为乘同余法。LCG 的优点是实现极简、速度快、状态只需一个整数；缺点是周期受 m 限制，低位比特随机性差，且在高维空间中点会落在少数超平面上（谱测试可检测），因此不适合对多维均匀性要求高的仿真。
参数选择有明确准则。以常见的 m = 2³¹ 为例，可取 a = 1103515245、c = 12345，此时周期为 2³¹。若希望周期更长，可使用 m = 2⁶⁴ 的 64 位版本。需要强调的是：不要自行随意挑选 a、c、m，应使用经过检验的经典参数组合，否则可能出现周期骤减或相关性严重的问题。
三、梅森旋转算法：现代仿真的默认选择
梅森旋转算法（Mersenne Twister，MT19937）是目前应用最广的伪随机数生成器之一。它基于 32 位字长的状态向量（共 624 个字），周期为 2¹⁹⁹³⁷−1，这是一个梅森素数，故得名。其核心操作是“旋转”：将状态字按位拼接后，用掩码提取高位与低位，再经过条件异或与矩阵乘（通过移位异或实现），生成新的状态字并输出经过 tempering（回火）变换的 32 位整数。
MT19937 的优点是周期极长、在 623 维以内具有较好的均匀性、速度快；缺点是状态较大（约 2.5 KB），且不具备密码学安全性——给定足够多的输出可反推内部状态。因此在仿真场景中它非常合适，但不应被用于安全相关的随机数需求。
实际使用中，Python 的 random 模块、NumPy 的 RandomState 均基于 MT19937；而 NumPy 新版的 default_rng 默认使用 PCG64，属于另一类现代生成器。选择时应关注：周期长度、状态大小、是否支持并行流、是否可复现。
四、随机数质量检验：不能只看“像不像随机”
伪随机数序列看起来杂乱，并不等于统计性质合格。工程上通常从以下几个维度检验：
- 均匀性检验：将 [0,1) 划分为 k 个等宽区间，统计落入各区间的频数，用 χ² 统计量判断是否显著偏离均匀分布。
- 独立性检验：包括游程检验（观察连续上升/下降或正负号的游程长度分布）、自相关检验（滞后若干阶的相关系数是否接近 0）。
- 高维均匀性：谱测试用于检测 LCG 类生成器在多维空间中点落在少数超平面上的问题。
- 周期与低位质量：检查实际周期是否达到理论值，以及低位比特是否具有明显规律。
以 χ² 均匀性检验为例，假设取 n = 10000 个样本、k = 10 个区间，则每区间期望频数 E = 1000。若某次统计得到 χ² = 9.8，自由度 df = k−1 = 9，在显著性水平 α = 0.05 下临界值约为 16.92，9.8 小于临界值，不能拒绝“均匀”的原假设。这只是示例计算，实际检验应结合多组样本与多种检验方法综合判断。
五、种子管理：让仿真可复现、可审计
种子是伪随机数序列的“身份标识”。同一个种子必然产生同一序列，这正是仿真可复现的基础。实践中应做到：
- 显式记录种子：每次仿真运行都把种子写入日志或结果元数据，便于事后复现与审计。
- 避免隐式使用系统时间：除非确实需要每次不同的随机流，否则不要用时间戳做默认种子。
- 并行流隔离：多线程或多进程仿真时，为每个流分配独立种子或使用支持子流的生成器（如 PCG 的 jump 机制），防止流间重叠导致相关性。
- 种子与场景绑定：对比实验应固定种子，只改变待研究参数，从而把随机波动与参数效应分离。
综合来看，均匀随机数生成器的选择与使用是一条完整链路：选对算法（LCG 适合轻量场景，MT19937 适合通用仿真）、用对参数、做足检验、管好种子。只有这四步都落实，蒙特卡洛仿真得到的估计量与置信区间才真正可信。