3. 连续选址模型

连续选址模型允许设施落在平面上的任意一点，而不是像离散选址那样只能从候选点中挑选。这一自由度让模型能刻画“最优位置究竟在哪里”，但也带来了新的数学问题：目标函数如何定义、最优性如何判断、如何稳定求解。本节围绕单设施Weber问题展开，并说明距离度量、迭代算法与多设施扩展三条主线。

一、Weber问题的数学形式

设需求点 i（i=1,…,n）的坐标为 (x_i, y_i)，需求量为 w_i（可用运量、人口或权重表示），待建设施坐标为 (x, y)。Weber问题的目标是使加权距离总和最小：

min F(x, y) = Σ w_i · d_i(x, y)
其中 d_i 为设施到需求点 i 的距离

与重心法相比，Weber问题的关键区别在于距离函数 d_i 并不限定为欧氏距离。距离度量的选择直接改变目标函数的形状，也改变最优解的位置与求解方法。

二、欧氏距离与曼哈顿距离下的最优性条件

欧氏距离下 d_i = √[(x−x_i)² + (y−y_i)²]。目标函数在需求点处不可微，其余位置可微。令偏导为零可得一阶条件：

∂F/∂x = Σ w_i (x − x_i)/d_i = 0
∂F/∂y = Σ w_i (y − y_i)/d_i = 0

该条件可改写为加权平均形式：x = Σ(w_i/d_i)·x_i / Σ(w_i/d_i)，y 同理。这说明最优点的“权重”不是原始 w_i，而是 w_i/d_i——距离越近的需求点权重被放大。由于 d_i 本身依赖 (x, y)，方程是隐式的，无法一次解出，这正是需要迭代的原因。此外，若最优点恰好与某个需求点重合，该点处不可微，需单独检验。

曼哈顿距离下 d_i = |x−x_i| + |y−y_i|。目标函数按 x、y 分离：F = Σw_i|x−x_i| + Σw_i|y−y_i|。两个一维问题各自的最优解是加权中位数：将需求点按坐标排序，找到累计权重首次达到总权重一半的位置。因此曼哈顿距离下的最优解通常落在某个需求点的坐标上（或坐标区间内），求解只需排序与累加，无需迭代。这一性质在沿街道网布局、管道走向等场景中非常实用。

三、Weber问题的迭代求解：Weiszfeld算法

利用一阶条件的加权平均形式，可构造不动点迭代。给定当前点 (x^k, y^k)，计算各需求点到当前点的距离 d_i^k，再更新：

x^{k+1} = Σ (w_i / d_i^k) · x_i / Σ (w_i / d_i^k)
y^{k+1} = Σ (w_i / d_i^k) · y_i / Σ (w_i / d_i^k)

这就是Weiszfeld算法。其收敛性依赖一个细节：当迭代点非常接近某个需求点时，d_i^k 趋近于零，权重爆炸。工程实现中通常设置阈值 ε（如 1e−6），当 d_i^k < ε 时将该点视为候选最优解并单独评估，或对距离做平滑处理。停止准则一般取相邻两次迭代的坐标变化量小于容差，或目标函数相对下降量小于阈值。

以一个教学示例说明：三个需求点 P1(2,2)、P2(8,3)、P3(5,9)，权重分别为 3、2、4。初始点取加权重心 (3·2+2·8+4·5)/9 ≈ 4.67，(3·2+2·3+4·9)/9 ≈ 5.33。第一轮计算各距离后按 w_i/d_i 重新加权，得到新坐标；重复若干轮后坐标变化小于 1e−4 即停止。实际计算中通常 10～30 轮即可收敛，具体轮数取决于初始点与数据分布。需要注意，上述数值为示例设定，实际结果应以程序运行输出为准。

四、多设施连续选址的扩展

当需要布置 m 个设施时，问题变为：将每个需求点分配给某个设施，并同时决定各设施位置，使总加权距离最小。目标函数为：

min Σ_i Σ_j w_i · z_ij · d(i, j)
s.t. Σ_j z_ij = 1,  z_ij ∈ {0,1}

其中 z_ij 表示需求点 i 是否由设施 j 服务。该问题同时包含分配（离散）与定位（连续）两类决策，是非凸的，通常存在多个局部最优。常用求解思路是交替优化：固定设施位置，按最近原则把每个需求点分配给最近设施；固定分配关系，对每个设施独立求解一个单设施Weber问题；交替进行直至分配关系不再变化。这一过程类似k-means，对初始位置敏感，实践中常多起点运行并取最优。

多设施扩展还有两个值得注意的工程问题。其一是容量约束：若设施服务能力有限，分配步骤不能只按距离最近，而要在容量可行前提下求解分配问题，此时交替优化内层变为运输问题。其二是设施数量 m 的选择：m 增大时总距离下降但建设成本上升，通常通过枚举 m 并比较“距离成本 + 固定建设成本”的总额来确定，而不是单纯追求距离最小。

五、建模时的判断要点

选择连续选址模型前，应先判断距离形态：若运输沿路网、路径近似直角折线，曼哈顿距离更贴合，且求解简单；若运输可近似直线（如管道、航空、区域间干线），欧氏距离更合适。其次判断是否存在容量、禁选区域或多设施协同，这些会改变模型结构。最后要明确权重 w_i 的物理含义与量纲，权重口径不一致会直接扭曲最优点位置。连续选址给出的是理论参考位置，落地前还需结合地块可得性、交通接入与政策约束做邻域比选。