2. 简支梁尺寸优化截面参数
问题定义与优化模型
简支梁跨中承受集中载荷，截面为矩形（宽 b、高 h）。尺寸优化的设计变量是 b 和 h，目标是最小化截面面积（等价于最小化梁质量），约束为跨中最大挠度不超过许用值、最大弯曲应力不超过材料许用应力。与拓扑优化改变材料分布不同，尺寸优化保持梁的几何构型不变，只调整截面参数。
设计变量：b ∈ [20, 80] mm，h ∈ [40, 160] mm
约束1（刚度）：δ_max ≤ δ_allow
约束2（强度）：σ_max ≤ σ_allow
解析推导与参数关系
简支梁跨中集中力 P 作用下，跨中最大挠度和最大弯曲应力分别为：
δ_max = P·L³ / (48·E·I)
σ_max = P·L / (4·W)
其中：
I = b·h³ / 12 （矩形截面惯性矩）
W = b·h² / 6 （抗弯截面系数）代入后可以看到，挠度约束对 h 极为敏感（δ ∝ 1/h³），而应力约束对 h 的敏感度为 σ ∝ 1/h²。这意味着在满足约束的前提下，增大 h 比增大 b 更高效地提升刚度与强度，但 h 增大会直接增加面积。优化器需要在两个约束边界之间寻找面积最小的 (b, h) 组合。
OptiStruct 尺寸优化设置
在 HyperMesh 中建立梁的 1D 梁单元模型，赋予 PBARL 矩形截面属性，将 b 和 h 定义为 DESVAR 设计变量，通过 DVPREL1 关联到 PBARL 的 DIM1 和 DIM2。响应定义如下：
- 质量响应：通过 DRESP1 引用属性质量
- 应力响应：通过 DRESP1 引用单元应力（或使用 PBARL 的应力恢复）
- 位移响应：通过 DRESP1 引用跨中节点 Z 向位移
约束卡片 DCONSTR 将应力响应限制在许用应力以内，位移响应限制在许用挠度以内。目标函数通过 DESOBJ 指向质量响应，方向为 MIN。
结果判读与验证
优化收敛后，查看 .out 文件中的最终设计变量值。典型结果会显示 h 接近上界而 b 接近下界，因为增大 h 对刚度和强度的贡献远大于增大 b。此时需要检查两个约束是否都处于临界状态：如果只有一个约束活跃，说明另一个约束有裕量，可以进一步收紧活跃约束的许用值来探索更轻的方案。
验证方法：将优化后的 b、h 代回解析公式，确认 δ_max 和 σ_max 均不超过许用值，且质量确实小于初始设计。若 OptiStruct 结果与解析值偏差超过 5%，检查单位制是否统一（建议 mm-N-MPa）、PBARL 的 DIM 定义是否与设计变量正确关联。