1. 悬臂梁拓扑优化减重设计

案例目标与工程背景

悬臂梁一端固定、一端自由，是拓扑优化最经典的验证对象。本案例在 OptiStruct 中建立 200 mm × 40 mm × 10 mm 的悬臂梁设计域，自由端下缘施加 500 N 集中力，目标是在自由端挠度不超过 0.5 mm 的刚度约束下最小化结构质量，并观察材料如何从矩形域中"生长"出桁架式传力路径。

拓扑优化的本质是让单元密度成为设计变量：密度接近 1 表示保留材料，接近 0 表示挖除材料。OptiStruct 采用 SIMP 插值模型惩罚中间密度，使结果趋于 0/1 分布，从而得到清晰的轻量化构型。

有限元模型与优化三要素

设计域用 2D 壳单元离散，网格尺寸 2 mm，共 100 × 20 = 2000 个单元。固定端约束全部自由度，载荷施加在自由端下缘节点。优化设置包含三个核心要素：

• 设计变量：每个壳单元的密度 ρ_e，取值范围 0.001～1.0。
• 目标函数：最小化质量（等价于最小化总体积）。
• 约束条件：自由端挠度 ≤ 0.5 mm，同时设置体积分数上限 0.4 作为制造性约束。

材料参数取钢的典型值：弹性模量 210 GPa，泊松比 0.3，密度 7.85×10⁻⁹ t/mm³。这些参数直接决定刚度约束是否可行。

OptiStruct 关键卡片设置

拓扑优化在 OptiStruct 中通过 DESIGN VARIABLES、OBJECTIVE、CONSTRAINTS 三类卡片定义。以下为可直接参考的 FEM 文件关键片段：

DESIGN VARIABLES
  TOPO 1
  TYPE = TOPOLOGY
  COMP = 1
  PVOL = 0.4
  MINDENS = 0.001
  MAXDENS = 1.0
  DISCRETE = 0

OBJECTIVE
  MINMASS 1
  TYPE = MASS

CONSTRAINTS
  DISP 1
  TYPE = DISPLACEMENT
  NODE = 2001
  DOF = 2
  UPPER = 0.5

OPTIMIZATION
  TOPO_OPT 1
  DESVAR = 1
  OBJECTIVE = 1
  CONSTRAINTS = 1
  MASSFRAC = 0.4

其中 NODE = 2001 为自由端下缘节点编号，DOF = 2 表示 Y 向位移，UPPER = 0.5 即挠度上限。求解器采用默认的优化算法，迭代收敛后输出密度云图。

材料分布与结果判读

下图展示拓扑优化迭代过程中材料分布的典型演化路径与最终构型判读逻辑。左侧为初始矩形设计域，中间为迭代中期的中间密度状态，右侧为收敛后的 0/1 桁架构型。颜色由浅到深表示密度由低到高。

轻量化方案提取与验证

收敛后从密度云图中提取 ρ ≥ 0.5 的单元，重新构建几何模型。典型提取流程为：导出密度阈值等值线 → 在 CAD 中光顺边界 → 重新划分实体网格 → 施加相同边界条件进行静力复核。复核关注两个指标：自由端挠度是否仍 ≤ 0.5 mm，以及最大 von Mises 应力是否低于材料许用应力。

本案例的预期结果是：优化后体积分数约 0.38，相比初始矩形域减重约 62%，自由端挠度控制在 0.5 mm 以内。若复核挠度略超限，可将体积分数从 0.4 放宽至 0.45 重新迭代，通常能获得满足刚度的最小质量构型。