4. 试验设计方法

代理模型的质量，在很大程度上由初始样本集决定。样本点选得不好，后续无论用克里金、径向基还是多项式响应面，都很难在关键区域拟合出可信的近似曲面。试验设计（Design of Experiments, DOE）要解决的核心问题就是：在有限的计算预算下，如何把样本点放到设计空间中，使它们携带尽可能多的信息。本节围绕拉丁超立方、正交设计、均匀设计和自适应采样四类方法展开，并给出针对具体问题生成初始样本集的可执行流程。

一、四类方法的定位与差异

这四种方法并不是互相替代的关系，而是服务于不同的设计目标。理解它们的差异，是选对方法的前提。

拉丁超立方采样（LHS）面向连续变量，核心思想是“分层投影”：把每个维度等分为 N 个区间，每个区间内只放一个样本点，再随机配对。这样在任意一维投影上，样本点都均匀铺满整个区间，避免了简单随机采样可能出现的聚集和空洞。LHS 适合变量维度中等（3～20 维）、变量连续、需要覆盖整个设计空间的场景，是代理模型初始样本集最常用的方法。

正交设计面向因素水平可枚举的场景，通过正交表安排试验，使任意两个因素的水平组合均衡出现。它的优势是能用较少的试验次数分离出各因素的主效应，常用于筛选关键变量、判断哪些因素对响应影响显著。正交设计对连续变量的处理是离散化水平，因此更适合因素数不多、水平可明确划分的问题。

均匀设计由方开泰提出，强调样本点在整个设计空间中的均匀散布，而不追求正交性。当因素水平较多、正交表规模急剧膨胀时，均匀设计可以用更少的试验点获得较好的空间填充性，适合高维、多水平的探索性试验。

自适应采样不是一次性布点，而是“边算边加”：先用少量初始样本建立粗略代理模型，再根据模型的不确定性或预测误差，在最有价值的区域补充样本点。它适合计算代价高、希望把预算集中在关键区域的问题，例如存在强非线性或响应剧烈变化的区域。

二、拉丁超立方采样的实现要点

LHS 的实现可以拆成三步。第一步，对每个维度 j（j=1,…,d），把取值范围 [a_j, b_j] 等分为 N 个区间，区间宽度为 (b_j−a_j)/N。第二步，生成一个 1～N 的随机排列 π_j，把第 k 个样本点在第 j 维的取值落在第 π_j(k) 个区间内，通常取区间中点或区间内均匀随机值。第三步，把所有维度的取值组合成 N 个 d 维样本点。

一个常见的改进是最大化最小距离准则：生成多组候选 LHS，计算每组样本点之间的最小欧氏距离，选最小距离最大的那一组。这能显著改善空间填充性，避免样本点偶然聚集。在 Python 中可用 scipy.stats.qmc.LatinHypercube 直接生成，再用 scipy.spatial.distance.pdist 做筛选。

import numpy as np
from scipy.stats import qmc
from scipy.spatial.distance import pdist

d, N = 5, 50          # 5 维，50 个样本
bounds = np.array([[0.1, 1.0]] * d)   # 各维上下界

best, best_min = None, -1
for _ in range(200):                   # 200 组候选
    sampler = qmc.LatinHypercube(d=d, seed=None)
    u = sampler.random(n=N)            # [0,1]^d
    X = qmc.scale(u, bounds[:,0], bounds[:,1])
    dmin = pdist(X).min()
    if dmin > best_min:
        best_min, best = dmin, X

print("最优最小距离:", round(best_min, 4))
print("样本集形状:", best.shape)      # (50, 5)

这里 N 的选取没有绝对公式。经验上，对于 d 维问题，初始样本数取 N = 10d 是常见起点；若响应面较平滑，可降到 5d；若响应剧烈波动，则应提高到 15d～20d。注意这只是示例性经验值，实际应结合计算预算和模型精度要求调整。

三、正交设计与均匀设计的适用边界

正交设计的典型操作是查正交表。例如考察 4 个三水平因素，可选用 L9(3⁴) 正交表，只需 9 次试验即可均衡覆盖各因素水平组合。它的价值在于：通过极差分析或方差分析，能快速判断哪个因素对响应影响最大，从而在后续代理模型建模中剔除次要变量，降低维度。

均匀设计则适用于因素水平数较多的情况。例如 6 个因素、每个因素 10 个水平，若用正交设计，试验次数会迅速膨胀；而均匀设计可用 U10(10⁶) 之类的均匀表，仅 10 次试验就获得较好的空间覆盖。均匀设计的构造常用好格子点法（good lattice point method），通过数论方法生成偏差较小的点集。需要提醒的是，均匀设计不保证正交性，因此不适合做严格的主效应分离，更适合作为探索性布点或代理模型的初始样本。

四、自适应采样的补点逻辑

自适应采样的核心是“用模型指导采样”。以克里金模型为例，常用两种补点准则：

• 最大预测方差（MSP）：在预测方差最大的位置补点，快速降低全局不确定性，适合探索未知区域。
• 期望改进（EI）：综合考虑预测值和不确定性，在“可能更优”且“不确定性大”的位置补点，适合优化问题。

实际操作中，通常先用 LHS 生成 10d 个初始样本，建立克里金模型，然后每次迭代用 EI 或 MSP 准则选 1～5 个新点，调用真实仿真计算响应，更新模型，直到达到预算上限或精度收敛。判断收敛可观察交叉验证的均方根误差（RMSE）或最大预测方差是否低于阈值。

五、针对具体问题的生成流程

把上述方法串起来，一个可执行的初始样本集生成流程如下。首先明确设计变量及其上下界，例如某翼型优化问题中，5 个几何控制参数的范围分别为 [0.1,1.0]、[−5°,5°]、[0.02,0.12]、[0.3,0.7]、[0.0,0.05]。其次判断变量类型：全部连续，选 LHS。然后设定 N=50，用上述代码生成并筛选最小距离最大的样本集。接着对样本集做投影检查：绘制任意两维的散点图，确认没有明显空洞或聚集。最后把样本集写入 CSV，每行一个样本，列名为变量名，并附一份变量说明表。

如果问题中混有离散变量（如材料类型 1/2/3），可对连续变量用 LHS，对离散变量用分层随机或正交安排，再组合成完整样本。若响应计算单次耗时超过数小时，则初始样本可缩减到 5d，把更多预算留给自适应采样阶段。方法的选择始终服务于“用有限样本获得最大信息量”这一目标，而不是机械套用某一种设计。