3. 代理模型基础与选型

在代理模型与多目标优化协同的框架中，代理模型承担着“用少量昂贵仿真样本逼近真实响应”的核心角色。多目标优化往往需要成千上万次目标函数评估，而一次高保真仿真可能耗时数分钟到数小时，直接优化不可承受。代理模型（也称元模型、响应面）以样本数据为输入，构建一个计算代价极低的近似函数，替代真实仿真参与优化搜索。本节聚焦四类主流代理模型——多项式响应面、径向基函数、克里金、支持向量回归——讲清它们的原理、适用条件与精度评价指标，并给出可操作的选型依据。

一、四类代理模型的基本原理

多项式响应面（PRS，Polynomial Response Surface）是最经典的代理模型。一阶形式为 ŷ = β₀ + Σβᵢxᵢ，二阶形式在此基础上加入平方项 xᵢ² 与交互项 xᵢxⱼ。系数 β 通过最小二乘法拟合，即最小化残差平方和。它的优点是形式简单、系数可解释、外推行为可控；缺点是只能表达光滑的全局趋势，对强非线性、多峰响应拟合能力弱。适用条件：设计变量少（通常 ≤ 10）、响应整体平滑、样本含噪声且需要快速获得趋势判断。

径向基函数（RBF，Radial Basis Function）把响应表示为若干基函数的线性组合：ŷ(x) = Σwᵢφ(‖x−xᵢ‖)，常用核有高斯核 φ(r)=exp(−r²/(2σ²))、多二次核 φ(r)=√(r²+σ²) 和薄板样条核。权重 w 由插值条件 Φw = y 解出。RBF 是插值型模型，能精确穿过样本点，对高维、强非线性响应适应性强；但核宽度 σ 对精度影响大，样本稀疏区域可能出现振荡。适用条件：样本点较密集、响应连续但非线性明显、需要插值精度。

克里金（Kriging）又称高斯过程回归，把响应看作随机过程：ŷ(x) = f(x)ᵀβ + Z(x)，其中 f(x)ᵀβ 是全局趋势（通常为常数或线性），Z(x) 是均值为零、协方差由变异函数 Cov(Z(xᵢ),Z(xⱼ)) = σ²R(θ, xᵢ, xⱼ) 描述的随机项。相关函数常取高斯型 R = exp(−Σθₖ|dₖ|²)，参数 θ 由最大似然估计确定。克里金不仅给出预测值，还给出预测方差（不确定性估计），这是它区别于其他模型的最大优势，也是高效全局优化（EGO）的基础。适用条件：样本量中等（几十到几百）、响应光滑、需要不确定性量化以指导加点。

支持向量回归（SVR，Support Vector Regression）基于结构风险最小化，引入 ε-不敏感损失：当预测偏差小于 ε 时不计算损失。通过核函数把样本映射到高维空间做线性回归，常用 RBF 核。其解只依赖少数支持向量，具有良好泛化能力，对噪声和异常值鲁棒。适用条件：样本含噪声、存在离群点、需要控制过拟合；但参数（C、ε、核宽度）需调优，且不直接提供不确定性。

二、精度评价指标

代理模型建好后必须量化其可信度，常用指标如下：

• 决定系数 R²：R² = 1 − Σ(yᵢ−ŷᵢ)² / Σ(yᵢ−ȳ)²，越接近 1 越好，反映模型解释的方差比例。
• 均方根误差 RMSE：RMSE = √(Σ(yᵢ−ŷᵢ)²/n)，与响应同量纲，越小越好。
• 最大绝对误差 MAE_max：max|yᵢ−ŷᵢ|，关注最坏情况，适合安全关键场景。
• 相对误差 RAAE / RMAE：分别用标准差或均值归一化，便于跨问题比较。

评价必须使用独立测试集或交叉验证（如留一法 LOO），不能用训练集误差自评。工程经验阈值：R² ≥ 0.9 且 RMAE ≤ 0.1 可认为模型可用于优化；R² 在 0.75～0.9 之间需谨慎，建议加点或换模型；R² < 0.75 则不可直接用于优化决策。

三、实操示例：一维响应的建模与评价

设真实响应为 y = sin(3x) + 0.3x²，x ∈ [0, 2]。取 8 个均匀样本点，分别用 PRS（二阶）、RBF（高斯核 σ=0.5）、Kriging（常数趋势 + 高斯相关）建模，再用 50 个测试点评价。示例结果（合理假设，非实测）：

可见 PRS 因响应含正弦项而欠拟合；RBF 与 Kriging 精度接近，但 Kriging 额外给出预测方差，可用于后续加点。若样本含 5% 高斯噪声，SVR（C=10, ε=0.05, RBF 核）通常比插值型 RBF 更稳健。

掌握四类模型的原理与边界后，下一步是把它们嵌入多目标优化循环：用代理模型替代仿真评估，用不确定性指标指导加点，用精度指标决定何时停止。选型不是一次性的，而应随样本积累和响应认知深化动态调整。