4. 代理模型选型
代理模型（Surrogate Model）是主动学习驱动 CAE 样本优化的核心引擎。它用少量已算样本拟合“设计变量 → 仿真响应”的映射，再据此挑选下一个最值得计算的样本点。选型是否恰当，直接决定主动学习循环的收敛速度与最终精度。本节围绕五类常用代理模型，说明它们的数学本质、适用场景、关键参数与选型判断依据。
五类代理模型的本质差异
多项式响应面（PRS）假设响应可用低阶多项式逼近，常见二阶形式为 y = β₀ + Σβᵢxᵢ + Σβᵢᵢxᵢ² + Σβᵢⱼxᵢxⱼ。它参数少、可解释性强，适合响应平滑、变量少（通常 ≤ 6）的场景，但难以刻画强非线性与多峰响应。Kriging（高斯过程回归）把响应视为随机过程，用均值函数加协方差核描述空间相关性，其预测同时给出均值与方差，方差天然可作为主动学习的不确定性指标，因此是主动学习中最常用的代理模型。径向基函数（RBF）用一组以样本点为中心的基函数线性组合逼近响应，核宽与正则化是关键，适合中高维、响应连续的问题。支持向量回归（SVR）通过 ε 不敏感带与核映射做结构风险最小化，对噪声与离群点稳健，适合样本含噪、响应非光滑的场景。神经网络代理（NN）以多层感知机拟合高维非线性映射，表达能力强，但需要更多样本，且不确定性估计不如 Kriging 直接。
主动学习视角下的选型逻辑
主动学习的关键是“用不确定性挑样本”。Kriging 的预测方差 σ²(x) 可直接作为采集函数（如 EI、PI、LCB）的输入，因此在小样本、平滑响应场景中通常是首选。若响应含明显噪声或离群点，SVR 的 ε 不敏感带能抑制异常样本对拟合的干扰，但需借助自助采样（Bootstrap）或分位数回归来近似不确定性。RBF 与 NN 本身不直接输出方差，实践中常通过集成（Ensemble）多个模型，用预测离散度作为不确定性度量。PRS 因无方差信息，一般只用于初始摸底或作为基线对比，不单独承担主动采样任务。
实操示例：翼型升阻比代理建模
以某二维翼型优化为例，设计变量为攻角 α（0°～12°）与弯度 c（0～0.06），响应为升阻比 L/D。初始用拉丁超立方采样 12 个样本，分别训练 Kriging（核函数 Matern 5/2，长度尺度初值 1.0，噪声 1e-6）与二阶 PRS，并在 200 个测试点上比较 R² 与 RMSE。
# 示例：Kriging 代理模型训练与评估（伪代码）
X_train = lhs(2, 12) # 12 个样本，2 维
y_train = cfd_simulate(X_train) # 调用 CFD 得到 L/D
kriging = Kriging(kernel='matern52',
length_scale=1.0,
noise=1e-6)
kriging.fit(X_train, y_train)
y_pred, y_std = kriging.predict(X_test, return_std=True)
r2 = 1 - sum((y_test - y_pred)**2) / sum((y_test - y_test.mean())**2)
rmse = sqrt(mean((y_test - y_pred)**2))
# 示例结果：Kriging R²≈0.94，RMSE≈1.8；PRS R²≈0.81，RMSE≈3.6上述数值为教学示例，用于说明量级差异，并非真实 CFD 实测。可以看到，Kriging 在同样 12 个样本下明显优于二阶 PRS。随后用 Kriging 的预测方差构造 EI 采集函数，在方差最大处追加 3 个 CFD 样本，R² 提升至约 0.97，说明“选型 + 主动采样”形成了闭环增益。
选型决策表
| 判断条件 | 推荐模型 | 理由 |
|---|---|---|
| 变量 ≤ 6，响应平滑，需快速摸底 | PRS（二阶） | 参数少、可解释、计算快 |
| 小样本、需不确定性驱动采样 | Kriging | 预测方差可直接用于 EI/LCB |
| 中高维、响应连续、样本中等 | RBF | 核宽灵活，插值能力强 |
| 样本含噪、存在离群点 | SVR | ε 带与惩罚系数提升稳健性 |
| 高维强非线性、样本充足 | NN | 表达能力强，需集成估方差 |
综上，代理模型选型的核心是匹配“响应特性、样本规模、不确定性需求”三要素。Kriging 因自带方差，是主动学习循环中最稳妥的起点；PRS 适合做基线；RBF、SVR、NN 则分别在连续中高维、含噪、强非线性场景中发挥优势。实际项目中，建议先用小样本快速对比 2～3 个候选模型的交叉验证误差，再决定主代理模型，并在主动学习迭代中持续监控精度与不确定性分布。