📚 课程目录第3章 CAE样本空间表征

3. CAE样本空间表征

在CAE驱动的主动学习中，样本空间表征决定了后续代理模型能否“看懂”设计对象。一个结构件的几何形状、材料分布、边界条件，如果只用原始网格节点坐标描述，维度可能高达数万甚至百万，直接送入学习器既低效又容易过拟合。因此，样本空间表征的核心任务，是把物理设计对象压缩成一组低维、可解释、可计算的数值向量，同时尽量保留对响应量（应力、频率、压降等）有影响的几何与物理特征。

设计变量：从物理量到可调参数

设计变量是样本空间的坐标轴。以某悬臂梁减重设计为例，可选设计变量包括：梁长 L（200–400 mm）、截面高度 h（20–60 mm）、腹板厚度 t（2–8 mm）、端部倒角半径 r（0–15 mm）。每个变量都有明确的物理含义、上下界和单位。设计变量选取要遵循三条原则：可制造（变量组合能加工出来）、可参数化（能驱动CAD/CAE模型重建）、对响应敏感（通过灵敏度分析或工程判断筛选）。若变量过多，可先做一次Sobol灵敏度分析，保留主效应显著的变量，把次要变量固定为标称值。

参数化建模：让几何随变量自动重建

参数化建模是把设计变量映射为几何模型的桥梁。常见方式有三种：尺寸驱动（修改草图尺寸或特征参数）、特征驱动（控制孔、倒角、阵列的数量与位置）、形状函数驱动（用FFD控制体、样条控制点或水平集函数描述边界）。以悬臂梁为例，可在CAD中建立参数表，把 L、h、t、r 绑定到草图与拉伸特征；每次采样后由脚本调用CAD API重建模型并导出STEP或直接生成网格。参数化建模的关键约束是：变量变化不能导致拓扑失效（如厚度超过高度、倒角半径大于梁宽），因此采样时需加入几何可行性检查。

特征提取：从高维场到低维描述

当几何无法用少量尺寸参数描述时（如翼型、拓扑优化结果、随机多孔结构），需要从高维场中提取特征。常用手段包括：

几何矩与积分量：面积、惯性矩、质心、体积分数，适合描述整体形状分布。
边界采样与符号距离场：在固定网格上计算SDF，再对SDF做PCA或自编码器压缩。
模态特征：对结构做模态分析，取前若干阶固有频率与振型系数作为特征。
物理场统计量：对温度场、压力场取均值、方差、梯度幅值、热点位置等。

特征提取后应做标准化（Z-score或min-max），避免量纲差异导致距离度量失真。

降维方法：在保真与压缩之间取舍

降维的目标是用 d 维隐变量近似原始 D 维特征，且 d ≪ D。线性方法中，PCA对中心化数据做SVD，保留累计方差贡献率≥95%的主成分；PLS则同时考虑输入与响应，适合回归任务。非线性方法中，自编码器（AE）通过编码器-解码器结构学习流形，核PCA用核函数处理非线性关系。对于参数化几何，还可采用主动子空间方法，直接寻找对响应影响最大的方向。降维后应检查重构误差：若重构误差过大，说明隐空间丢失了关键信息，需要增加维度或改用非线性方法。

样本空间可视化：看见分布与覆盖

高维样本无法直接绘制，常用可视化策略包括：PCA/ t-SNE降维到2D散点图、平行坐标图展示多变量取值、相关性热力图观察变量间耦合、以及设计变量-响应散点矩阵。可视化的目的不是“好看”，而是回答三个问题：样本是否覆盖设计空间？是否存在明显聚类或空洞？响应面是否平滑、有无异常点？若发现某区域样本稀疏，可在主动学习下一轮采样中加密。

实操示例：悬臂梁样本空间构建

下面给出一个可复现的样本空间构建片段。假设已用拉丁超立方采样生成80组设计变量，每组变量驱动CAD重建并完成静力分析，提取最大应力 σ_max 与一阶固有频率 f1。特征向量由几何矩、SDF采样和模态频率拼接而成，维度约120。用PCA降至6维，累计方差贡献率96.3%。

# 示例：PCA降维与可视化（Python伪代码）
import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# X: (80, 120) 特征矩阵；y: (80, 2) 响应 [σ_max, f1]
X_scaled = StandardScaler().fit_transform(X)

pca = PCA(n_components=0.95)   # 保留95%方差
Z = pca.fit_transform(X_scaled) # Z: (80, d)

print("原始维度:", X.shape[1])
print("降维后维度:", Z.shape[1])
print("累计方差贡献率:", pca.explained_variance_ratio_.cumsum()[-1])

# 2D可视化
import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(Z[:,0], Z[:,1], c=y[:,0], cmap='viridis')
plt.xlabel('PC1'); plt.ylabel('PC2')
plt.colorbar(label='σ_max (MPa)')
plt.title('样本空间PCA投影')
plt.show()

判断降维是否合理：若PCA前两维散点图中样本分布均匀、无明显空洞，且颜色（响应值）呈连续渐变，说明隐空间保留了主要物理规律；若出现孤立点或颜色突变，应检查该样本是否几何失效或求解未收敛。

常见误区：不要对未标准化的特征直接做PCA，否则量纲大的特征会主导主成分；不要盲目追求低维，降维过度会丢失局部几何细节，导致代理模型在边界区域预测失真。

样本空间表征完成后，应保存三份数据：设计变量矩阵、特征矩阵、降维后隐变量矩阵，并记录每列的物理含义、单位、标准化参数和PCA载荷。这样在后续主动学习迭代中，新增样本可以按同一变换投影到已有空间，保证样本空间的一致性和可扩展性。