2. 参数辨识的数学基础

参数辨识的本质，是在给定模型结构的前提下，用输入输出数据反推模型中的未知参数。要理解这件事为什么可行、在什么条件下可行、用什么准则去求，需要先建立一套统一的数学描述。本节围绕输入输出描述、状态空间与传递函数、参数化模型结构、可辨识性以及最小二乘与极大似然估计五个层次展开，它们共同构成后续所有辨识算法的共同底座。

一、系统建模的输入输出描述

任何动态系统的辨识都从一组可观测的输入输出序列开始。设采样时刻为 t = 1, 2, …, N，输入记为 u(t)，输出记为 y(t)。最一般的输入输出描述是离散时间差分方程：

y(t) + a₁·y(t−1) + … + aₙ·y(t−n)
     = b₁·u(t−1) + … + bₘ·u(t−m) + e(t)

其中 a₁…aₙ、b₁…bₘ 是待辨识参数，e(t) 是残差项，代表模型无法解释的部分。这个式子说明：当前输出由过去若干时刻的输出和输入共同决定，参数就是这些历史量的加权系数。若把 e(t) 视为零均值随机扰动，则模型描述的是输出的条件期望；若 e(t) 存在自相关，则说明模型结构或噪声假设需要修正。

输入输出描述的最大优点是直接对应可采集的数据，不需要引入内部状态。但它对多变量、多回路系统不够直观，也难以直接反映系统的内部机理，因此需要状态空间与传递函数两种等价视角。

二、状态空间与传递函数表示

状态空间把系统写成一组一阶微分或差分方程，用状态向量 x 概括系统的“记忆”。连续时间线性时不变系统的标准形式为：

ẋ(t) = A·x(t) + B·u(t)
y(t) = C·x(t) + D·u(t)

其中 A 描述状态自身的演化，B 描述输入如何驱动状态，C 描述状态如何映射到输出，D 是输入直通项。状态空间适合多输入多输出系统，也便于描述初始条件的影响。

传递函数则是在零初始条件下对状态空间做拉普拉斯变换得到的输入输出比值：

G(s) = C·(sI − A)⁻¹·B + D
     = (b₀ + b₁s + … + bₘsᵐ) / (1 + a₁s + … + aₙsⁿ)

传递函数把系统压缩成分子分母多项式，极点决定响应快慢与稳定性，零点影响响应形状。三种描述在数学上等价：差分方程对应离散传递函数，状态空间可转换为传递函数，传递函数也可通过能控标准型还原为状态空间。辨识时选择哪种形式，取决于数据条件、模型用途和参数可解释性。

三、参数化模型结构

参数化模型结构决定了“用哪些参数、以什么方式描述系统”。常见结构包括：ARX 模型把噪声直接并入差分方程，结构简单、可线性求解；ARMAX 在 ARX 基础上增加滑动平均噪声项，适合有色噪声；OE（输出误差）模型只对输出误差建模，参数物理意义清晰；BJ（Box–Jenkins）模型把系统动态与噪声动态分开描述，灵活性最高但求解更复杂。状态空间模型则直接参数化 A、B、C、D 矩阵。

结构选择不是越复杂越好。若噪声近似白噪声，ARX 已足够；若残差存在明显自相关，应升级到 ARMAX 或 OE。结构过简会导致有偏估计，结构过繁会引入冗余参数、增大方差并降低可辨识性。

四、可辨识性概念

可辨识性回答的是：在给定模型结构和数据条件下，参数能否被唯一确定。它分为结构可辨识性和实际可辨识性。结构可辨识性只与模型形式有关，例如 G(s)=K/(Ts+1) 中 K 与 T 在结构上可区分；而 G(s)=K/(T₁s+1)(T₂s+1) 若 T₁=T₂，则两个时间常数不可分辨。实际可辨识性还取决于输入激励是否充分、信噪比是否足够、采样率是否合理。若输入为常值，系统无法被持续激励，多数参数将不可辨识。

五、最小二乘与极大似然估计

最小二乘（LS）是最基础的参数估计准则。以 ARX 模型为例，把差分方程写成回归形式：

y(t) = φᵀ(t)·θ + e(t)
φ(t) = [−y(t−1), …, −y(t−n), u(t−1), …, u(t−m)]ᵀ
θ   = [a₁, …, aₙ, b₁, …, bₘ]ᵀ

最小二乘目标是使残差平方和最小：

J(θ) = Σₜ [y(t) − φᵀ(t)·θ]²
θ̂_LS = (ΦᵀΦ)⁻¹·Φᵀ·Y

该解称为正规方程解。当 e(t) 为白噪声且与回归量不相关时，LS 估计是无偏的；若噪声有色或与输入相关，LS 会产生偏差，此时需要工具变量法或极大似然估计。

极大似然估计（MLE）从概率角度出发：假设残差服从某分布（通常为正态分布），构造似然函数 L(θ)，取使其最大的 θ。在白噪声高斯假设下，MLE 退化为最小二乘；在有色噪声下，MLE 同时估计系统参数与噪声参数，通常能获得更优的统计性质，但需要迭代求解，计算量更大。

实际辨识中，通常先用 LS 获得初值，再用 MLE 或预测误差法精修。判断估计是否可信，应同时观察残差是否白化、参数置信区间是否过宽、ΦᵀΦ 条件数是否过大。若残差仍存在明显自相关，说明模型结构或噪声假设需要调整，而不是继续调参。