📚 课程目录第4章经典DOE方法

4. 经典DOE方法

当试验因素不止一个时，最朴素的想法是“每个因素都单独试一遍”。但因素之间可能存在交互作用，单独试无法发现“A只有在B取某水平时才有效”这类现象。经典DOE方法正是为解决这一问题而发展起来的：用尽量少的试验次数，估计主效应与交互效应，并明确哪些效应可以估计、哪些效应被混在一起。本节围绕全因子设计、部分因子设计、正交表、分辨度与别名结构展开。

一、全因子设计：把所有组合都做一遍

全因子设计（Full Factorial Design）指对所有因素的所有水平组合都进行试验。若试验有 k 个因素，每个因素取 2 个水平，则试验次数为 2^k。例如 3 个因素 A、B、C 各取高低两水平，共 2³=8 次试验，记为 2³ 全因子设计。

全因子设计的最大优点是“不遗漏”：主效应、二阶交互（AB、AC、BC）乃至三阶交互（ABC）都能独立估计，效应之间不混杂。代价是试验次数随因素数指数增长：4 因素 16 次、5 因素 32 次、6 因素 64 次。当因素较多、单次试验成本较高时，全因子往往不可承受。

以 2³ 设计为例，用 ±1 编码水平（低=-1，高=+1），8 次试验的标准序如下：

试验  A   B   C
 1   -1  -1  -1
 2   +1  -1  -1
 3   -1  +1  -1
 4   +1  +1  -1
 5   -1  -1  +1
 6   +1  -1  +1
 7   -1  +1  +1
 8   +1  +1  +1

主效应 A 的估计为“A 取 +1 的 4 次响应均值”减去“A 取 -1 的 4 次响应均值”。交互效应 AB 则用 A、B 同号与异号的响应均值之差来估计。这种“按列对比”的计算方式，正是正交表与别名结构的基础。

二、部分因子设计：用一部分试验换信息

部分因子设计（Fractional Factorial Design）只做全因子的一部分，通常是 1/2、1/4、1/8 等。2^k 设计的 1/2 部分记为 2^k-1，1/4 部分记为 2^k-2。例如 2^4-1 设计只做 8 次试验，而不是 16 次。

省下来的试验次数不是“免费”的：部分因子设计会让某些效应彼此混杂，即无法区分到底是哪个效应在起作用。这种混杂关系由“生成元”和“定义关系”决定。例如 2^4-1 设计取生成元 D=ABC，则定义关系为 I=ABCD，别名结构为 A=BCD、B=ACD、C=ABD、D=ABC、AB=CD、AC=BD、AD=BC。也就是说，主效应 A 与三阶交互 BCD 混在一起，二阶交互 AB 与 CD 混在一起。

选择部分因子设计的关键，是判断哪些效应“可以牺牲”。工程经验表明，高阶交互（三阶及以上）通常不显著，因此常把主效应与低阶交互安排在不被高阶交互污染的位置。

三、正交表：部分因子的通用载体

正交表是部分因子设计的表格化表达，记作 L_n(a^b)，其中 n 为试验次数，a 为水平数，b 为最多可安排的因素数。常用的二水平正交表有 L₄(2³)、L₈(2⁷)、L₁₆(2¹⁵)、L₃₂(2³¹) 等。

正交表的核心性质是“均衡分散”：每一列中各水平出现次数相同；任意两列的水平组合出现次数相同。这保证了各因素效应可以独立估计（在不考虑混杂的前提下），且试验点均匀分布在设计空间内。

使用正交表时，通常先根据因素数和水平数选表，再把因素分配到表的列上。若因素数少于表的列数，可留空列或安排交互作用。例如 3 因素二水平试验可用 L₈(2⁷)，把 A、B、C 放在第 1、2、4 列，其余列空置或用于估计误差。

四、分辨度：衡量设计“抗混杂”能力

分辨度（Resolution）是部分因子设计的重要指标，用罗马数字表示，常见为 III、IV、V。它描述主效应与交互效应的混杂程度：

分辨度 III：主效应不与其它主效应混杂，但与二阶交互混杂。例如 2^3-1 设计，A=BC。适合筛选阶段，只关心主效应。
分辨度 IV：主效应不与主效应、二阶交互混杂，但二阶交互之间可能混杂。例如 2^4-1 设计，AB=CD。适合需要估计部分交互的场合。
分辨度 V：主效应和二阶交互都不与其它主效应或二阶交互混杂，仅与三阶及以上交互混杂。例如 2^5-1 设计。适合需要较完整交互信息的场合。

分辨度越高，需要的试验次数越多。选择分辨度时，要在“试验成本”与“可估计效应”之间权衡。一般筛选阶段用 III，优化阶段用 IV 或 V。

五、别名结构：看清谁和谁混在一起

别名结构（Alias Structure）列出所有混杂的效应对。它由定义关系推导而来：定义关系中的每一项，乘以任意效应，即得到该效应的别名。例如定义关系 I=ABCD，则 A·I=A·ABCD=BCD，说明 A 与 BCD 互为别名。

别名结构的作用是：在分析结果时，若某个别名组显著，不能直接断定是主效应还是交互效应在起作用，需要结合工程知识或追加试验来区分。若一个别名组中所有效应都预期不显著，则该组可用于估计误差。

实用提示：在 Minitab、JMP 等软件中创建部分因子设计时，可直接查看“别名结构”表。建议在设计阶段就检查：主效应是否与二阶交互混杂？若混杂，是否可接受？若不可接受，应提高分辨度或减少因素。

六、方法选择与对比

方法	试验次数	可估计效应	适用阶段
2³ 全因子	8	主效应、全部交互	因素少、需完整信息
2^4-1 部分因子（分辨度 IV）	8	主效应、部分二阶交互	筛选后优化
2^5-1 部分因子（分辨度 V）	16	主效应、二阶交互	需较完整交互
L₈(2⁷) 正交表	8	最多 7 个主效应	多因素筛选

实际工作中，常见策略是“先筛选、后优化”：先用分辨度 III 或 IV 的部分因子设计从众多因素中筛出显著因素，再用全因子或响应面设计对少数关键因素进行精细优化。这样既控制了试验成本，又保证了关键信息的获取。

总结来看，全因子设计提供最完整的信息但成本最高；部分因子设计通过牺牲部分效应信息来减少试验次数；正交表是部分因子设计的通用工具；分辨度衡量设计的抗混杂能力；别名结构则明确告诉分析者“谁和谁混在一起”。掌握这五个概念之间的关系，就能在实际项目中根据阶段目标选择合适的设计类型，并在分析结果时正确解读显著效应。