3. 薄板加强筋布局优化
问题定义与设计变量
对象为 400 mm × 300 mm × 2 mm 的铝合金薄板，四边简支，中心承受面内单轴压缩载荷。板上布置 3 条纵向加强筋，筋的截面为矩形，宽度固定 8 mm，高度 h 和横向位置 y 为设计变量。目标是在一阶屈曲临界载荷不低于 120 kN 的约束下，使结构总质量最小。
设计变量向量：
- 筋高 h₁、h₂、h₃ ∈ [4, 20] mm，连续变量
- 筋位 y₁、y₂、y₃ ∈ [40, 260] mm，连续变量，且保持 y₁ < y₂ < y₃
材料参数：E = 70 GPa，ν = 0.33，ρ = 2.7×10⁻⁶ kg/mm³。板与筋同材质，筋通过共节点与板连接。
屈曲约束的物理含义
薄板在面内压缩下，临界载荷由线性特征值屈曲分析给出：
K φ = λ · K_geo · φ其中 K 为弹性刚度矩阵，K_geo 为几何刚度矩阵（由面内应力场生成），λ 为屈曲载荷因子，φ 为屈曲模态。一阶临界载荷 P_cr = λ₁ · P_ref，P_ref 为施加的参考压缩载荷。约束条件为 P_cr ≥ 120 kN。
加强筋的作用有两面：提高抗弯刚度从而提升 P_cr，同时增加质量。筋的位置决定它是否落在屈曲模态的波峰/波谷区域——落在模态位移最大处，约束效率最高；落在节线附近则几乎无效。
建模与求解设置
采用壳单元模拟薄板，梁单元模拟加强筋，筋与板共节点。参考载荷取 100 kN，通过特征值屈曲求解得到 λ₁，则 P_cr = λ₁ × 100 kN。优化算法选用序列二次规划（SQP），目标函数为总质量，约束为 P_cr ≥ 120 kN 及设计变量上下界。
初始设计：h₁ = h₂ = h₃ = 10 mm，y₁ = 80 mm，y₂ = 150 mm，y₃ = 220 mm。初始总质量约 0.72 kg，初始 P_cr 约 95 kN（不满足约束）。
形状变量对屈曲模态的影响
优化过程中可观察到两个关键现象：
- 筋高增加：直接提升局部抗弯刚度，P_cr 上升，但质量线性增加。当 h 超过约 16 mm 后，增益趋于饱和，因为屈曲模态开始从整体弯曲转向局部板屈曲。
- 筋位移动：当筋从节线附近移向波峰/波谷区域时，P_cr 显著提升。优化器倾向于将三条筋布置在模态位移最大的三个区域，而非均匀分布。
最终优化结果示例：h₁ = 14.2 mm，h₂ = 8.6 mm，h₃ = 13.8 mm，y₁ = 72 mm，y₂ = 150 mm，y₃ = 228 mm。总质量约 0.61 kg，P_cr ≈ 121 kN，减重约 15%。
结果验证与判读
验证分两步：
- 对优化结果重新运行特征值屈曲分析，确认 λ₁ × 100 kN ≥ 120 kN，且一阶模态形状未发生异常跳变（如从整体屈曲变为局部板屈曲）。
- 检查设计变量是否触及上下界。若某筋高达到 20 mm 上限，说明约束可能过紧，需放宽上限或调整筋位。
若一阶与二阶屈曲载荷接近（λ₂/λ₁ < 1.1），说明结构对模态切换敏感，实际承载可能低于预期，应适当提高安全裕度或增加筋的布置密度。