2. 桁架结构截面优化

问题定义与建模对象

平面桁架由若干杆件铰接而成，节点承受集中载荷。优化目标是在节点位移不超过许用值的条件下，使结构总质量最小。设计变量为各杆的横截面积 A_i，目标函数为总质量：

min  W = Σ ρ · L_i · A_i
s.t. |δ_j| ≤ δ_allow   (j = 1, 2, …, 自由节点位移分量)
     A_min ≤ A_i ≤ A_max
     平衡方程 K(A)·u = F

其中 ρ 为材料密度，L_i 为杆长，K(A) 为整体刚度矩阵（随面积变化），u 为节点位移向量，F 为载荷向量。位移约束是隐式的——面积改变会同时改变刚度与质量，因此需要迭代求解。

连续变量优化：以 6 杆平面桁架为例

取经典 6 杆桁架：4 个节点，节点 1、2 铰支，节点 3 承受水平载荷 P = 100 kN，节点 4 承受竖直载荷 P = 100 kN。材料弹性模量 E = 200 GPa，密度 ρ = 7850 kg/m³，许用位移 δ_allow = 5 mm，面积下界 A_min = 100 mm²，上界 A_max = 5000 mm²。

采用序列二次规划（SQP）或移动渐近线法（MMA）求解连续变量问题。关键实现逻辑：

# 伪代码：连续变量桁架截面优化主循环
A = A_min * ones(n_bars)          # 初始面积
for iter in range(max_iter):
    K = assemble_stiffness(A)      # 组装整体刚度矩阵
    u = solve(K, F)                # 位移求解
    W = sum(rho * L * A)           # 当前质量
    g = abs(u[constrained_dofs]) - delta_allow   # 位移约束值
    dW_dA = rho * L                # 质量对面积的梯度
    dg_dA = compute_displacement_sensitivity(A, u)  # 位移灵敏度
    A = update_design(A, dW_dA, dg_dA, g)  # SQP/MMA 更新
    if converged(g, A): break

位移灵敏度 ∂δ/∂A_i 可由伴随法高效计算：对每个约束位移，解一次伴随方程 K·λ = -∂δ/∂u，再求 ∂δ/∂A_i = λᵀ · (∂K/∂A_i) · u。由于 ∂K/∂A_i 仅与杆 i 的几何有关，计算量可控。

离散变量优化：截面规格化

工程中杆件截面往往只能从标准规格表中选取，例如圆管截面按外径与壁厚分档。将连续解圆整到最近规格后，位移约束可能被违反，需要重新分配面积。常用策略：

• 圆整+修复：将连续解 A_i* 圆整到最近可用规格，检查位移约束；若违反，对灵敏度最大的杆件升档，直至满足约束。
• 离散枚举/分支定界：对小规模桁架（杆数 ≤ 10）可枚举组合，但计算量随规格数指数增长。
• 遗传算法/模拟退火：适合中等规模，但需要大量有限元重分析。

离散解通常比连续解重 5%～15%，且各杆面积呈阶梯分布，而非连续光滑变化。

连续与离散结果对比

离散解质量增加约 6.1%，但最大位移略低于许用值，说明圆整后部分杆件面积偏大。实际工程中可接受这一代价，因为标准规格采购与加工成本更低。

结果判读与验证

优化完成后，需进行以下检查：

1. 将优化后的面积代回有限元模型，重新计算位移，确认 |δ_j| ≤ δ_allow 对所有约束分量成立。
2. 检查各杆面积是否在 [A_min, A_max] 内，且离散解确实来自可用规格表。
3. 对比连续解与离散解的质量差异，评估圆整策略的合理性。
4. 若最大位移远小于许用值，说明约束未激活，可尝试进一步减重；若位移恰好等于许用值，说明约束激活，解处于最优边界。

关键操作与参数选择

在通用有限元或优化软件中实现时，需注意以下设置：

• 设计变量初始化：建议从 A_min 或均匀面积开始，避免初始刚度矩阵奇异。
• 灵敏度过滤：若杆件数量多，可对灵敏度进行过滤或约束，防止面积振荡。
• 收敛准则：质量变化小于 0.1% 且约束违反量小于 1% 时终止。
• 离散化策略：先求连续解，再按规格表圆整，最后用少量迭代修复约束违反。