1. 悬臂梁减重优化
问题定义与优化模型
矩形截面悬臂梁，长度 L=500 mm，自由端承受集中载荷 F=2000 N。截面宽度 b 和高度 h 为设计变量，目标是最小化质量，约束为梁根部最大弯曲应力不超过许用应力 [σ]=160 MPa。材料密度 ρ=7.85×10⁻⁶ kg/mm³。
悬臂梁根部弯矩 M=F·L=2000×500=1×10⁶ N·mm。矩形截面抗弯截面系数 W=b·h²/6，最大弯曲应力 σ_max=M/W=6FL/(b·h²)。质量 m=ρ·b·h·L。优化模型为：
min m = ρ·b·h·L
s.t. σ_max = 6FL/(b·h²) ≤ [σ]
b_min ≤ b ≤ b_max
h_min ≤ h ≤ h_max取 b∈[10, 80] mm，h∈[20, 200] mm。由于质量随 b、h 单调递增，最优解必然落在应力约束边界上，即 σ_max=[σ]。
设计空间与约束边界
将应力约束改写为等式：b·h² = 6FL/[σ] = 6×1×10⁶/160 = 37500 mm³。这是一条在 b-h 平面上的双曲线，可行域位于该曲线右上方（b·h²≥37500）。质量等值线为 b·h=常数 的双曲线族。最优解是质量等值线与约束边界的切点。
优化求解与结果判读
利用拉格朗日乘子法或直接代入约束边界求解。在约束 b·h²=37500 下最小化 b·h，令 h=√(37500/b)，则 b·h=b·√(37500/b)=√(37500·b)。对 b 求导得最优条件 h=2b，代入约束得 b³=37500/4=9375，b*=21.1 mm，h*=42.2 mm。
验证：σ_max=6×1×10⁶/(21.1×42.2²)=6×10⁶/37500=160 MPa，恰好等于许用应力。质量 m=7.85×10⁻⁶×21.1×42.2×500=0.70 kg。若初始设计取 b=40 mm、h=80 mm，质量 m₀=7.85×10⁻⁶×40×80×500=12.56 kg，减重比例达 94.4%。
结果判读要点：
- 最优解处应力约束为紧约束（active constraint），σ_max=[σ]。
- 最优截面高宽比 h/b≈2，这是矩形悬臂梁在弯曲应力约束下的经典最优比例。
- 若 b 或 h 触及上下限，说明变量范围设置不合理，需放宽范围或调整约束。
- 质量对 h 的敏感度高于 b：h 增大一倍，W 增大四倍，应力降至 1/4；b 增大一倍，W 增大一倍，应力降至 1/2。
参数敏感性与验证
| 方案 | b (mm) | h (mm) | σ_max (MPa) | 质量 (kg) | 状态 |
|---|---|---|---|---|---|
| 初始设计 | 40 | 80 | 23.4 | 12.56 | 应力远低于许用值，材料浪费 |
| 等宽减高 | 40 | 30.6 | 160 | 4.80 | 满足约束，但非最优 |
| 等高减宽 | 21.1 | 80 | 21.1 | 6.63 | 满足约束，但非最优 |
| 最优解 | 21.1 | 42.2 | 160 | 0.70 | 质量最小，约束紧 |
工程提示：实际设计中还需考虑剪切应力、局部稳定性、制造工艺最小尺寸等约束。本例仅以弯曲应力为约束，用于演示尺寸优化的完整建模与求解流程。若需考虑多约束，可在优化模型中增加相应约束函数，最优解将出现在多个约束的交点或边界上。