1. 二维不可压缩管道流动的网格收敛性验证
问题定义与验证思路
二维不可压缩直管层流（平面 Poiseuille 流动）存在解析解，是检验网格收敛性的理想基准。设管道半高为 H = 0.01 m（全高 0.02 m），长度 L = 0.2 m，动力黏度 μ = 0.001 Pa·s，密度 ρ = 1000 kg/m³。取平均流速 U = 0.01 m/s，则雷诺数 Re = ρUH/μ = 0.1，远低于临界值，流动为稳定层流。
解析解给出：
- 速度剖面：
u(y) = 1.5U[1 − (y/H)²]，中心线最大速度u_max = 1.5U = 0.015 m/s - 压降：
Δp = 12μUL/H² = 12×0.001×0.01×0.2/0.0001 = 0.24 Pa
验证策略：固定管道几何与边界条件，仅改变流向和法向网格数，逐级加密，对比出口截面速度剖面与进出口压降，以相对误差 < 2% 作为工程精度判据，确定最小网格量。
网格设置与求解配置
采用结构化四边形网格，流向（x）与法向（y）分别独立加密。四组网格方案如下表所示，保持长宽比合理（流向间距与法向间距之比不超过 5:1），避免因单元畸变引入额外误差。
| 方案 | 流向节点数 Nx | 法向节点数 Ny | 总网格量 | 法向首层高度 Δy (m) |
|---|---|---|---|---|
| M1 | 40 | 10 | 400 | 0.002 |
| M2 | 80 | 20 | 1600 | 0.001 |
| M3 | 160 | 40 | 6400 | 0.0005 |
| M4 | 320 | 80 | 25600 | 0.00025 |
求解器设置：采用压力耦合方程组的半隐式方法（SIMPLE），动量方程离散格式从一阶迎风逐步切换至二阶迎风，压力采用标准格式。收敛残差标准设为 1×10⁻⁶。入口给定均匀速度 U = 0.01 m/s，出口给定表压 0 Pa，上下壁面为无滑移条件。
结果对比与最小网格量确定
提取出口截面（x = L）的速度剖面，与解析解逐点对比。同时读取进出口截面平均压力差作为数值压降。下表为示例计算结果（教学示例数据，非实测）：
| 方案 | 总网格量 | u_max 数值 (m/s) | ε_u (%) | Δp 数值 (Pa) | ε_Δp (%) | GCI (%) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| M1 | 400 | 0.0141 | 6.0 | 0.218 | 9.2 | — |
| M2 | 1600 | 0.0147 | 2.0 | 0.232 | 3.3 | 8.1 |
| M3 | 6400 | 0.0149 | 0.67 | 0.237 | 1.25 | 2.4 |
| M4 | 25600 | 0.0150 | 0.13 | 0.239 | 0.42 | 0.8 |
判读结论：M2 方案（1600 网格）的速度剖面误差恰好为 2.0%，压降误差 3.3%，GCI 为 8.1%，尚未满足全部判据。M3 方案（6400 网格）速度误差降至 0.67%，压降误差 1.25%，GCI 为 2.4%，三项判据均满足。因此，满足工程精度要求的最小网格量为 6400（160×40）。继续加密至 M4 后误差改善有限，但计算成本增加 4 倍，性价比显著下降。
操作提示：实际执行时，建议先以 M1 快速试算确认边界条件与物性设置无误，再依次运行 M2、M3、M4。每次加密后，除对比出口剖面和压降外，还应检查残差曲线是否平稳下降至目标量级，以及质量守恒是否满足（进出口流量偏差 < 0.1%）。若某级网格出现误差反弹，通常意味着网格长宽比过大或离散格式切换不当，需检查网格质量而非继续盲目加密。