3. PMSM转矩与运动方程

在完成PMSM在三相静止坐标系与两相旋转坐标系下的电压方程与磁链关系之后，真正决定电机“能不能转、转得多快、响应多快”的，是转矩方程与机械运动方程。它们把电气量（电流、磁链）与机械量（转速、转角、转矩）连接起来，是模型预测控制中预测模型的核心组成部分。本节围绕电磁转矩表达式、磁链方程、机械运动方程以及转动惯量与负载转矩对动态响应的影响展开，并给出可直接用于仿真的参数示例与观察方法。

一、磁链方程：转矩的“源头”

在dq旋转坐标系下，定子磁链与电流的关系可写为：

ψd = Ld·id + ψf
ψq = Lq·iq

其中 ψf 为永磁体磁链（单位 Wb），Ld、Lq 为直轴与交轴电感（单位 H）。对于表贴式PMSM，Ld ≈ Lq = Ls；对于内置式PMSM，Lq > Ld，会额外产生磁阻转矩。磁链方程说明：转矩并非直接由电压决定，而是通过电流建立磁链，再由磁链与电流的相互作用产生转矩。因此，在MPC中若把电流作为控制量，磁链方程就是电流到转矩的“翻译层”。

需要特别强调参照系约定：本文所有dq量均定义在转子磁场定向的同步旋转坐标系下，d轴与永磁体磁链方向对齐，q轴超前d轴90°电角度。正转矩对应iq > 0（电动状态），iq < 0 对应发电/制动状态。全文与图示均保持这一约定。

二、电磁转矩表达式

PMSM的电磁转矩一般表达式为：

Te = (3/2)·p·[ψf·iq + (Ld − Lq)·id·iq]

式中 p 为极对数，Te 为电磁转矩（N·m）。第一项 ψf·iq 是永磁转矩，第二项 (Ld − Lq)·id·iq 是磁阻转矩。对表贴式电机 Ld = Lq，磁阻转矩为零，转矩与iq严格成正比；对内置式电机，可通过注入负id（弱磁或最大转矩电流比控制）利用磁阻转矩提高转矩输出。

若采用幅值不变的3/2变换，系数为3/2；若采用等功率变换，系数会不同。仿真建模时必须与前面的坐标变换系数保持一致，否则转矩会整体偏差，导致转速环增益失配。这是初学者最常见的错误之一。

三、机械运动方程

机械侧的运动方程为：

Te − TL = J·(dωm/dt) + B·ωm

其中 TL 为负载转矩（N·m），J 为转动惯量（kg·m²），B 为粘滞摩擦系数（N·m·s/rad），ωm 为机械角速度（rad/s）。若用电气角速度 ωe，则 ωe = p·ωm。该方程表明：电磁转矩与负载转矩之差，一部分用于加速转动惯量，一部分被摩擦消耗。稳态时 dωm/dt = 0，有 Te = TL + B·ωm，即电磁转矩必须与负载和摩擦平衡。

在MPC中，机械运动方程通常被离散化用于转速预测：

ωm(k+1) = ωm(k) + (Ts/J)·[Te(k) − TL(k) − B·ωm(k)]

其中 Ts 为控制周期。可以看到，J 出现在分母，Ts 出现在分子，二者共同决定转速预测的“步长灵敏度”。

四、转动惯量与负载转矩对动态响应的影响

转动惯量 J 决定转速变化的“惯性”。J 越大，同样的转矩差产生的角加速度越小，转速上升越慢，但抗负载扰动能力越强、转速波动越小。J 越小，响应越快，但也更容易超调、对转矩脉动和噪声更敏感。负载转矩 TL 则决定工作点：TL 突变时，转速会先偏离，再由控制器调节电流恢复。若电流环带宽不足或转矩限幅，恢复过程会明显变慢甚至失稳。

下面给出一个可直接用于仿真的示例参数（属于合理假设的教学示例，非实测数据）：

按上述参数，若 id = 0、iq = 5 A，则电磁转矩约为 Te = 1.5×4×0.175×5 = 5.25 N·m。扣除负载2.0 N·m后，净加速转矩约3.25 N·m，角加速度约 3.25/0.0008 ≈ 4062 rad/s²，对应机械转速上升非常快。这说明小惯量电机在MPC下需要更短的预测步长和更谨慎的转矩限幅，否则容易在几个控制周期内就产生明显转速跳变。

五、仿真中如何观察与判断

在Simulink或PLECS中搭建模型时，建议把 Te、TL、ωm、iq、id 同时接入示波器。观察要点：

• 空载启动：Te 应迅速上升到限幅值，ωm 近似线性上升，直到接近给定转速后 Te 回落到仅克服摩擦。
• 突加负载：在 t = 0.2 s 投入 TL = 2 N·m，ωm 会先下跌，Te 随之上升，若恢复时间在几十毫秒内且无持续振荡，说明转速环与电流环配合合理。
• 转动惯量加倍：把 J 改为 0.0016 kg·m²，同样的转矩差下角加速度减半，转速上升时间约翻倍，但负载扰动引起的转速跌落会减小。
• 转矩限幅：若把 Te 限幅设为 3 N·m，而负载为 2 N·m，则加速能力明显受限，启动时间显著变长，这是实际驱动器必须校核的。

六、与MPC预测模型的衔接

在MPC中，转矩方程与运动方程共同构成预测模型：电流预测用电压方程和磁链方程，转速预测用运动方程。若J或ψf参数不准，预测的转速轨迹会偏离实际，导致代价函数选出的电压矢量不是最优。因此，建议在建模阶段先用一组已知的 Te、TL、ωm 数据反推 J 和 B，或在仿真中做参数敏感性扫描，确认J偏差±30%时转速响应仍在可接受范围。

把上述关系串起来看：电流经磁链方程形成磁场，磁场与电流作用产生电磁转矩，电磁转矩再与负载转矩、转动惯量、摩擦一起决定转速变化。MPC的预测模型正是沿这条链向前推演。理解这条链上每个参数的作用，才能在仿真中正确设置J、TL、限幅和预测步长，也才能在转速响应异常时快速定位是转矩不足、惯量估计错误还是负载扰动过大。