2. PMSM物理结构与数学模型

要建立永磁同步电机（PMSM）的模型预测控制，第一步不是写控制器，而是把电机"翻译"成一组可计算的方程。PMSM的物理本体由定子、转子和气隙磁场构成：定子铁心槽内嵌放三相绕组，转子表面或内部安装永磁体，永磁体建立转子主磁场。定子绕组通入三相电流后产生旋转磁动势，与转子永磁磁场相互作用产生电磁转矩。理解这一物理过程，是理解后续所有坐标变换和电压方程的前提。

一、定子绕组与凸极效应

定子三相绕组在空间上互差120°电角度，通常采用星形连接。每相绕组由若干线圈串联而成，其自感与相间互感随转子位置变化。对于表贴式PMSM（SPM），永磁体贴在转子表面，气隙均匀，交轴电感与直轴电感近似相等，即 Ld ≈ Lq，属于隐极电机；对于内置式PMSM（IPM），永磁体嵌入转子内部，直轴磁路经过永磁体，磁阻较大，而交轴磁路主要为铁心，磁阻较小，因此 Lq > Ld，形成明显的凸极效应。

凸极效应带来一个关键结果：即使定子电流为零，转子在不同位置时绕组电感也不同；而当电流流过时，除了永磁转矩，还会产生磁阻转矩。磁阻转矩正比于 (Ld − Lq)·id·iq，这是IPM相比SPM能输出更大转矩、且适合弱磁扩速的根本原因。在建模时，若忽略凸极效应，把 Ld 和 Lq 当作相等，就会丢失磁阻转矩项，导致转矩估算和电流分配出现偏差。

二、abc三相自然坐标系模型

在abc自然坐标系下，定子电压方程可写为：

u_a = R_s·i_a + dψ_a/dt
u_b = R_s·i_b + dψ_b/dt
u_c = R_s·i_c + dψ_c/dt

其中 Rs 为定子相电阻，ψa、ψb、ψc 为三相绕组磁链。磁链由两部分组成：定子电流产生的自感与互感磁链，以及永磁体产生的转子磁链。由于转子永磁磁链随转子位置变化，三相磁链矩阵中包含 cosθ、cos(θ−120°)、cos(θ+120°) 等项，使得电感矩阵成为转子位置 θ 的函数。这意味着abc坐标系下的电压方程是时变系数微分方程，直接用于控制器设计非常不便。

此外，三相绕组还存在中性点约束。对于星形连接且中性点不引出的电机，三相电流之和为零：ia + ib + ic = 0。这一约束可以减少一个独立状态变量，也是后续Clarke变换能压缩为两相的基础。

三、Clarke变换与Park变换

Clarke变换把三相静止坐标系abc映射到两相静止坐标系αβ。采用等幅值变换时，其关系为：

i_α = (2/3)·(i_a − 0.5·i_b − 0.5·i_c)
i_β = (2/3)·(√3/2·i_b − √3/2·i_c)

若三相电流为对称正弦，则 iα、iβ 为两相正交正弦量，频率仍为电频率。Clarke变换消除了三相之间的120°相位差，但αβ轴仍固定在定子上，磁链和电压仍随转子位置变化。

Park变换进一步把αβ坐标系旋转到与转子磁场同步的dq坐标系。定义d轴与转子永磁磁链方向对齐，q轴超前d轴90°电角度，则：

i_d =  i_α·cosθ + i_β·sinθ
i_q = −i_α·sinθ + i_β·cosθ

经过Park变换后，稳态下 id、iq 为直流量，电压方程中的时变电感矩阵被消去，模型变为常系数方程。这正是FOC和MPC都选择在dq坐标系下工作的原因。

四、dq旋转坐标系电压方程

在dq坐标系下，PMSM的定子电压方程为：

u_d = R_s·i_d + L_d·di_d/dt − ω_e·L_q·i_q
u_q = R_s·i_q + L_q·di_q/dt + ω_e·(L_d·i_d + ψ_f)

其中 ωe 为电角速度，ψf 为永磁体磁链。方程中 −ωe·Lq·iq 和 +ωe·(Ld·id + ψf) 是旋转坐标系带来的耦合项，也称为交叉耦合项。它们表明：d轴电压不仅受id影响，还受iq和转速影响；q轴电压不仅受iq影响，还受id、ψf和转速影响。在高速或大电流工况下，耦合项数值可观，若控制器忽略它，动态响应会变差。

电磁转矩方程为：

T_e = (3/2)·p·[ψ_f·i_q + (L_d − L_q)·i_d·i_q]

其中 p 为极对数。第一项是永磁转矩，第二项是磁阻转矩。对于SPM，Ld≈Lq，磁阻转矩近似为零，转矩与iq成正比；对于IPM，可以通过分配负的id来利用磁阻转矩，提高单位电流转矩。机械运动方程为：

J·dω_m/dt = T_e − T_L − B·ω_m

其中 J 为转动惯量，TL 为负载转矩，B 为阻尼系数，ωm 为机械角速度，且 ωe = p·ωm。

五、从物理量到可执行模型

把上述方程整理成状态空间形式，便于在Simulink或代码中实现。取状态变量 x = [id, iq, ωm]^T，输入 u = [ud, uq, TL]^T，则电流微分项为：

di_d/dt = (u_d − R_s·i_d + ω_e·L_q·i_q) / L_d
di_q/dt = (u_q − R_s·i_q − ω_e·L_d·i_d − ω_e·ψ_f) / L_q
dω_m/dt = (T_e − T_L − B·ω_m) / J

以一个教学示例参数为例：Rs = 0.5 Ω，Ld = 5 mH，Lq = 8 mH，ψf = 0.1 Wb，p = 4，J = 0.001 kg·m²，B = 0.0001 N·m·s。若给定 id = 0、iq = 5 A、ωe = 200 rad/s，则永磁转矩约为 (3/2)×4×0.1×5 = 3 N·m，磁阻转矩为 (3/2)×4×(0.005−0.008)×0×5 = 0，总转矩约3 N·m。若改为 id = −2 A、iq = 5 A，磁阻转矩为 (3/2)×4×(−0.003)×(−2)×5 = 0.18 N·m，总转矩约3.18 N·m，说明负id确实能贡献正向磁阻转矩。这些数值属于教学示例，用于说明参数关系，不代表特定电机的实测结果。

在仿真中验证模型是否正确，可以观察几个关键现象：施加恒定ud、uq且转速固定时，id、iq应趋于稳定直流值；突加负载TL时，转速先下降，随后在转矩作用下恢复；若把Ld、Lq设为相等，磁阻转矩项消失，IPM的转矩输出会低于实际模型。通过这些对比，可以判断模型是否保留了凸极效应和交叉耦合。