2. 单级萃取相平衡约束下的组成求解

平衡约束如何“锁定”单级萃取出口组成

单级萃取达到平衡时，两相组成并非可以任意取值，而是必须同时满足两个条件：一是溶质在两相间的分配关系（平衡方程），二是进出该级的物料衡算。前者给出“组成必须落在哪条线上”，后者给出“组成必须落在哪条操作线上”，两线交点即为平衡后的两相组成。本案例用一组教学示例数据演示这一联立求解过程。

示例条件与方程建立

设原料液（萃余相入口）流量 F = 100 kg/h，其中溶质质量分数 x_F = 0.20；纯溶剂（萃取相入口）流量 S = 80 kg/h，不含溶质（y_S = 0）。假设溶剂与稀释剂完全不互溶，平衡关系为线性：y* = m·x，分配系数 m = 1.5（y 为萃取相中溶质与溶剂之比，x 为萃余相中溶质与稀释剂之比，此处按质量比近似处理）。

以不互溶的稀释剂和溶剂为基准做溶质衡算：

稀释剂流量 B = F·(1 - x_F) = 100 × 0.80 = 80 kg/h
溶剂流量 S = 80 kg/h
溶质衡算：B·x_F' + S·y_S = B·x + S·y
其中 x_F' = x_F/(1-x_F) = 0.20/0.80 = 0.25（质量比）
代入：80×0.25 + 80×0 = 80·x + 80·y
化简：20 = 80x + 80y  →  x + y = 0.25   （操作线方程）
平衡方程：y = 1.5x

联立两式：x + 1.5x = 0.25，得 x = 0.10，y = 0.15。换算为质量分数：萃余相 x_w = 0.10/(1+0.10) ≈ 0.0909，萃取相 y_w = 0.15/(1+0.15) ≈ 0.1304。

结果校核与平衡约束的影响

用求得的组成回代验证衡算闭合性：

溶质输入 = B·x_F' = 80 × 0.25 = 20 kg/h
溶质输出 = B·x + S·y = 80×0.10 + 80×0.15 = 8 + 12 = 20 kg/h  ✓
萃取率 = S·y / (B·x_F') = 12/20 = 60%

若忽略平衡约束、仅凭衡算求解，则一个方程含两个未知数，解不唯一；正是平衡方程 y = 1.5x 把解“锁定”到唯一点。为直观观察平衡约束的作用，保持操作线不变，仅改变分配系数：

可见操作线（溶剂比）固定时，m 越大，交点越向低 x、高 y 方向移动，萃取率随之提高。这说明单级萃取的出口组成是“物料衡算 + 相平衡”共同决定的，任何只考虑其中一方的计算都会偏离真实平衡状态。