📚 课程目录第1章二元理想物系单级平衡蒸馏物料衡算

1. 二元理想物系单级平衡蒸馏物料衡算

案例任务与已知条件

本案例处理苯(A)-甲苯(B)理想二元物系的单级平衡蒸馏（闪蒸）。进料在恒定压力下被加热到某一温度后进入闪蒸室，汽液两相在室内达到一次平衡后分别排出。任务是在给定进料量、进料组成、汽化率与相平衡常数的条件下，求出平衡后汽相与液相的组成和流量，并用总物料衡算与组分物料衡算双重校核结果。

教学示例数据（假设值，用于演示计算路径）：

参数	符号	数值	说明
进料流量	F	100 kmol/h	连续稳定进料
进料中苯摩尔分数	z_F	0.50	轻组分（苯）
汽化率	e = V/F	0.40	40% 进料汽化
苯的相平衡常数	K_A	2.50	在闪蒸温度、压力下
甲苯的相平衡常数	K_B	1.00	同一条件下

相平衡常数定义为 K_i = y_i/x_i，即汽相组成与液相组成之比。对理想物系，K 值由温度与压力决定，本例视为已知常量。

物料衡算方程组的建立

单级平衡蒸馏的未知量为 V、L、y_A、x_A（y_B、x_B 由归一化得到）。可列出四个独立关系：

总物料衡算：F = V + L
组分物料衡算（苯）：F·z_F = V·y_A + L·x_A
相平衡关系：y_A = K_A·x_A，y_B = K_B·x_B
归一化条件：x_A + x_B = 1，y_A + y_B = 1

将汽化率 e = V/F 代入总衡算得 L = F(1−e)。把相平衡关系代入组分衡算，可解出液相组成：

x_A = z_F / [ e·K_A + (1 − e) ]
y_A = K_A · x_A

该式是单级平衡蒸馏的核心求解式：分母中 e·K_A 代表汽相携带的轻组分能力， (1−e) 代表液相保留部分。汽化率越大，分母越大，液相中苯越少、汽相中苯越多。

代入数据完成计算

F = 100 kmol/h,  z_F = 0.50,  e = 0.40
K_A = 2.50,  K_B = 1.00

V = e·F = 0.40 × 100 = 40 kmol/h
L = F − V = 100 − 40 = 60 kmol/h

x_A = 0.50 / [0.40×2.50 + (1−0.40)]
    = 0.50 / [1.00 + 0.60]
    = 0.50 / 1.60
    = 0.3125

y_A = K_A·x_A = 2.50 × 0.3125 = 0.78125

x_B = 1 − 0.3125 = 0.6875
y_B = 1 − 0.78125 = 0.21875

校核相平衡常数是否自洽：y_B/x_B = 0.21875/0.6875 = 0.3182，与给定 K_B=1.00 不符。这说明两个 K 值不能任意给定——对二元理想物系，K_A 与 K_B 必须满足相对挥发度关系 α = K_A/K_B，且由同一温度压力决定。若强行给定 K_B=1.00，则归一化条件与相平衡关系会冲突。

正确做法：二元物系只需给定一个 K 值（或相对挥发度 α），另一个由归一化条件反推。本例应取 α = K_A/K_B = 2.50，令 K_B = K_A/α = 1.00 仅当 α=2.50 时成立；但此时 y_B=K_Bx_B=0.6875≠0.21875，矛盾根源在于 x_A 的求解式已隐含使用了归一化。下面改用相对挥发度法重算。

用相对挥发度修正求解

对二元理想物系，更稳妥的写法是只用相对挥发度 α 描述平衡：

y_A = α·x_A / [1 + (α−1)·x_A]

与组分衡算联立，得到关于 x_A 的一元二次方程：

e·α·x_A² + [(1−e) + e·α − α·z_F]·x_A − (1−e)·z_F = 0

代入 e=0.40, α=2.50, z_F=0.50：
1.00·x_A² + [0.60 + 1.00 − 1.25]·x_A − 0.30 = 0
x_A² + 0.35·x_A − 0.30 = 0

x_A = [−0.35 + √(0.35² + 4×0.30)] / 2
    = [−0.35 + √1.3225] / 2
    = [−0.35 + 1.1500] / 2
    = 0.4000

y_A = 2.50×0.40 / [1 + 1.50×0.40] = 1.00 / 1.60 = 0.6250
x_B = 0.6000,  y_B = 0.3750

此时校核 K_B = y_B/x_B = 0.3750/0.6000 = 0.625，K_A/K_B = 0.6250/0.625 = 1.00？不对——K_A=y_A/x_A=0.6250/0.4000=1.5625，K_B=0.625，α=1.5625/0.625=2.50，自洽。可见K 值本身随组成变化，不能把 K_A=2.50 当作固定值再套用线性式。教学示例中若坚持用固定 K，必须同时接受 K_B 由归一化反推，而不是另行给定。

物料衡算闭合校核

用相对挥发度法结果做双重校核：

校核项	计算式	结果	判定
总物料	V + L = 40 + 60	100 kmol/h = F	闭合
苯组分	V·y_A + L·x_A = 40×0.625 + 60×0.400	25 + 24 = 49 kmol/h	与 F·z_F=50 差 1 kmol/h，需复核
甲苯组分	V·y_B + L·x_B = 40×0.375 + 60×0.600	15 + 36 = 51 kmol/h	与 F·(1−z_F)=50 差 1 kmol/h

差值 1 kmol/h 来自二次方程求根时的舍入（√1.3225 精确值为 1.15000，x_A=0.4000 精确）。实际上 40×0.625=25.0，60×0.400=24.0，合计 49.0，而 F·z_F=50.0，说明 x_A 应略大于 0.400。用精确二次方程重解：

x_A² + 0.35x_A − 0.30 = 0
判别式 D = 0.1225 + 1.20 = 1.3225
√D = 1.15000
x_A = (−0.35 + 1.15000)/2 = 0.40000

代入组分衡算：40×0.625 + 60×0.400 = 25 + 24 = 49 ≠ 50。问题出在 y_A 的计算：y_A = αx_A/[1+(α−1)x_A] = 2.5×0.4/(1+1.5×0.4) = 1.0/1.6 = 0.625。而组分衡算要求 40y_A+60×0.4=50 → y_A=(50−24)/40=0.65。两者不一致，说明二次方程的系数推导有误。

重新推导：由 Fz_F=Vy_A+Lx_A，V=eF，L=(1−e)F，两边除以 F：z_F=e·y_A+(1−e)x_A。代入 y_A=αx_A/[1+(α−1)x_A]，得 z_F[1+(α−1)x_A]=eαx_A+(1−e)x_A[1+(α−1)x_A]。整理后二次项系数为 (1−e)(α−1)，而非 e·α。正确方程：

(1−e)(α−1)·x_A² + [e·α + (1−e) − z_F(α−1)]·x_A − z_F = 0

代入：0.60×1.50·x_A² + [1.00+0.60−0.50×1.50]·x_A − 0.50 = 0
0.90x_A² + 0.85x_A − 0.50 = 0

x_A = [−0.85 + √(0.7225+1.80)] / 1.80
    = [−0.85 + √2.5225] / 1.80
    = [−0.85 + 1.5882] / 1.80
    = 0.4101

y_A = 2.50×0.4101 / [1+1.50×0.4101] = 1.0253 / 1.6152 = 0.6348

校核：40×0.6348 + 60×0.4101 = 25.39 + 24.61 = 50.00 ✓；总物料 40+60=100 ✓。x_B=0.5899，y_B=0.3652，甲苯衡算 40×0.3652+60×0.5899=14.61+35.39=50.00 ✓。物料衡算闭合。

结果判读与工程含义

计算得到汽相中苯的摩尔分数 0.6348，明显高于进料 0.50；液相中苯降至 0.4101。这说明单级平衡蒸馏只能实现一次组成分离，富集幅度受汽化率与相对挥发度共同限制。若把汽化率提高到 0.60，用同一方程重算可得 x_A≈0.335、y_A≈0.558，汽相苯含量反而下降——因为更多进料被汽化，汽相被"稀释"。这一非单调现象是闪蒸操作中汽化率选择的关键权衡：追求汽相浓度应取较小汽化率，追求汽相产量则需接受浓度下降。

工程判断要点：① 物料衡算必须同时校核总量与每个组分，只校核总量会掩盖组分分配错误；② 二元理想物系给定两个独立 K 值往往过约束，应改用相对挥发度 α 或由归一化反推其中一个 K；③ 汽化率是闪蒸的核心操作变量，直接决定汽液相组成与产量，需按下游工艺要求权衡。