📚 课程目录第4章相机标定

4、相机标定：相机内参、外参、畸变系数、标定板与标定流程

相机标定，说白了就是给相机做一次「视力矫正」和「骨骼对齐」。

你想想看，我们做3D显示，所有立体感的源头都来自相机拍摄的左右眼图像。如果相机本身的参数不准，那后面的视差计算、深度估计全是空中楼阁。我入行那会儿就吃过这个亏——标定没做细，结果重建出来的模型整个是歪的，排查了三天才发现是内参矩阵里一个像素偏移。

嗯，这节课咱们就把相机标定这件事彻底讲透。

4.1 相机模型：小孔成像的数学表达

先回顾一下最基础的成像模型。理想情况下，相机就是一个针孔相机：

三维空间中的点 P(X, Y, Z)
通过光心投影到成像平面上的点 p(u, v)
这个映射关系，就是相机标定要解的核心方程

数学上，这个关系可以写成：

s * [u, v, 1]^T = K * [R | t] * [X, Y, Z, 1]^T

其中：

K 是内参矩阵（相机自己的属性）
[R | t] 是外参矩阵（相机在世界坐标系中的位姿）
s 是尺度因子

核心理解：内参决定「怎么拍」，外参决定「在哪拍」。两者缺一不可。

4.2 内参矩阵：相机的「出厂设置」

内参矩阵 K 长这样：

K = [ fx   0   cx
      0   fy   cy
      0    0    1 ]

每个参数都有物理含义：

参数	含义	典型值（参考）
fx, fy	焦距（以像素为单位）	500~2000 px
cx, cy	主点偏移（光心在图像上的位置）	图像中心附近

我在项目中遇到过一件事：某款工业相机标出来 cx 偏离中心 30 多个像素。一开始以为是标定出错了，后来查手册才发现——这款相机的传感器封装就是偏的。如果不标定，直接用图像中心当主点，那立体匹配的极线约束就全偏了。

我的习惯：每次拿到新相机，第一件事就是做一次内参标定，哪怕厂家给了出厂参数。因为运输震动、温度变化都会让内参漂移。

4.3 外参矩阵：相机在空间中的「站位」

外参矩阵 [R | t] 描述的是：

R：旋转矩阵（3×3），表示相机朝向
t：平移向量（3×1），表示相机位置

对于双目立体系统，我们需要标定两个相机之间的相对外参：

R_rel = R_right * R_left^T
t_rel = t_right - R_rel * t_left

这个相对关系，直接决定了左右图像的极线对齐质量。

我曾经调试过一套双目系统，左右图像总是有 2~3 个像素的垂直视差。折腾了两天，最后发现是外参标定的时候标定板放得太近，导致旋转矩阵的估计精度不够。后来把标定板放到 1.5 米以外重新标，垂直视差直接降到 0.3 像素以内。

注意：外参标定对距离非常敏感。标定板距离越远，旋转矩阵的精度越高。我建议标定距离至少是工作距离的 1.5 倍。

4.4 畸变系数：镜头的「真实面目」

没有镜头是完美的。实际镜头都会引入畸变，主要有两类：

畸变类型	表现	数学模型
径向畸变	直线变弯（桶形/枕形）	k1, k2, k3
切向畸变	镜头与传感器不平行	p1, p2

畸变矫正公式（以径向畸变为例）：

x_corrected = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
y_corrected = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)

其中 r 是像素到主点的距离。

嗯，这里要注意：畸变系数不是越大越好，也不是越小越好。关键是稳定。我见过一些廉价摄像头，畸变系数 k1 能到 -0.4，但只要标定准确，矫正后一样能用。反倒是那种标定一次一个样的镜头，才真正让人头疼。

避坑指南：我曾经用鱼眼镜头做室内定位，标定出来的 k3 特别大。一开始以为是标定错了，后来才发现——鱼眼镜头的畸变模型需要用到 5 阶甚至 6 阶多项式。标准针孔模型的 3 阶畸变模型根本不够用。

4.5 标定板：标定的「基准尺」

标定板是相机标定的物理基准。常见的标定板类型：

类型	优点	缺点
棋盘格	角点检测简单、稳定	需要覆盖整个视场
圆点阵列	亚像素精度高	光照敏感
ChArUco板	自带编码、支持部分遮挡	实现复杂

我个人习惯用棋盘格，原因很简单：角点检测的算法最成熟，OpenCV 里直接调 findChessboardCorners 就行。但要注意棋盘格的尺寸——

我的经验：棋盘格每个格子的大小，建议在 20mm~40mm 之间。太小了角点检测容易受噪声影响，太大了又需要标定板本身很大，携带不方便。我常用的规格是 30mm 格子，9×7 内角点。

4.6 标定流程：从拍照到参数输出

完整的标定流程，我把它分成 5 步：

准备标定板：打印棋盘格，贴在平整的硬板上
采集图像：在不同角度、不同距离拍摄 15~30 张
角点检测：用算法提取每张图像中的棋盘格角点
参数求解：用最小二乘法解算内参、外参、畸变系数
重投影验证：用标定结果反算角点位置，计算重投影误差

下面这张图展示了整个标定流程的逻辑关系：

4.7 实战：用 OpenCV 做标定

下面是一段我常用的标定代码骨架：

import cv2
import numpy as np

# 1. 准备棋盘格角点坐标
pattern_size = (9, 6)  # 内角点数
square_size = 30.0     # 格子大小（mm）
objp = np.zeros((pattern_size[0]*pattern_size[1], 3), np.float32)
objp[:,:2] = np.mgrid[0:pattern_size[0], 0:pattern_size[1]].T.reshape(-1,2)
objp *= square_size

# 2. 遍历图像，检测角点
objpoints = []  # 世界坐标系中的点
imgpoints = []  # 图像坐标系中的点

for fname in image_files:
    img = cv2.imread(fname)
    gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
    ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, pattern_size, None)
    if ret:
        objpoints.append(objp)
        imgpoints.append(corners)

# 3. 标定
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(
    objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None
)

# 4. 重投影误差
total_error = 0
for i in range(len(objpoints)):
    imgpoints2, _ = cv2.projectPoints(
        objpoints[i], rvecs[i], tvecs[i], mtx, dist
    )
    error = cv2.norm(imgpoints[i], imgpoints2, cv2.NORM_L2) / len(imgpoints2)
    total_error += error

print(f"重投影误差: {total_error/len(objpoints):.4f} 像素")

我的建议：标定完成后，一定要做一次畸变矫正的视觉检查。把标定结果应用到一张有明显直线的图像上，看看矫正后的直线是不是真的直了。有时候重投影误差很小，但畸变矫正效果却不理想——这种情况我遇到过两次，都是因为标定图像没有覆盖到图像边缘。

4.8 标定质量评估

标定做完了，怎么知道好不好？我一般看三个指标：

指标	好	一般	差
重投影误差	< 0.3 px	0.3 ~ 0.8 px	> 0.8 px
图像覆盖度	边缘+中心都有	中心为主	只有中心
角度覆盖度	±45° 以上	±30°	< ±20°

嗯，这里要特别说一下图像覆盖度的问题。我见过不少新手，标定的时候把标定板放在画面正中间拍 20 张，结果边缘区域的畸变矫正效果一塌糊涂。你想想看，畸变在边缘最明显，如果标定板从来没到过边缘，那算法怎么知道边缘的畸变参数？

避坑指南：我曾经帮一个团队排查标定问题，他们的重投影误差只有 0.2 像素，但实际矫正效果很差。后来发现——他们用的标定板是 A4 纸打印的，贴在纸板上，纸板本身有轻微弯曲。标定板不平，角点位置就有系统误差，这个误差会直接传递到内参矩阵里。

所以我的习惯是：标定板一定要贴在刚性背板上，最好是亚克力板或者铝板。纸板？不行的。

好了，相机标定的核心内容就这些。内参、外参、畸变系数、标定板、标定流程——这五个要素构成了整个标定体系。下次你拿到一台新相机，按照这个流程走一遍，就能拿到可靠的相机参数，为后面的立体匹配和深度估计打好基础。