3. 焦距设计的第一性原理

微透镜阵列的焦距不是凭经验“调”出来的，而是由面形曲率半径、材料折射率和元件厚度共同决定的一个几何光学量。要把它设计得可预测、可复现，最稳妥的路径是回到第一性原理：先用高斯光学给出薄透镜的焦距表达式，再用矩阵光学把厚度、介质折射率和多表面效应纳入同一套计算框架，最后形成一条从设计指标到加工参数的初步计算流程。本节围绕这条主线展开。

一、符号约定与近轴前提

为避免后续推导中正负号混乱，先固定约定：光线沿 +z 方向传播；曲率半径 R 以球心位于表面右侧为正、左侧为负；凸面朝向入射光时 R > 0。所有推导均在近轴（傍轴）条件下成立，即光线与光轴的夹角 θ 满足 sinθ ≈ θ、tanθ ≈ θ，且透镜孔径远小于曲率半径。微透镜阵列单元口径通常在几十微米到几百微米量级，焦距在几十微米到数毫米量级，近轴近似在大部分设计初算阶段是可接受的；当数值孔径较大（如 NA > 0.3）时，需在后续用实际光线追迹修正。

二、从单球面折射到薄透镜焦距

单个球面折射的近轴成像公式为：

n'/l' - n/l = (n' - n)/R

其中 n 为物方折射率，n' 为像方折射率，l、l' 分别为物距与像距（以顶点为原点、沿传播方向为正），R 为曲率半径。令物在无穷远（l → -∞），则像距即为该单球面的像方焦距 f' = n'R/(n' - n)。

对于置于空气中的薄透镜（厚度可忽略），两个表面的光焦度直接相加。设透镜材料折射率为 n，第一面曲率半径 R₁、第二面曲率半径 R₂，则薄透镜焦距由造镜者公式给出：

1/f = (n - 1) · (1/R₁ - 1/R₂)

这是焦距设计最核心的一条关系。它说明三件事：第一，焦距由材料折射率与两个面的曲率半径共同决定，缺一不可；第二，光焦度 1/f 对曲率半径的变化是线性的，因此调焦本质上是调曲率；第三，当 R₁ = -R₂ = R（双凸对称）时，公式退化为 f = R/[2(n-1)]，这是微透镜阵列中最常见的对称单元形式。

三、矩阵光学：把厚度与介质纳入计算

薄透镜公式忽略了中心厚度 t，而微透镜阵列的单元往往具有不可忽略的矢高与厚度，尤其当 NA 较大时，厚度会显著影响实际焦距。矩阵光学用 2×2 光线传递矩阵描述近轴光线的状态演化，光线状态用列向量 [y, θ]ᵀ 表示（y 为离轴高度，θ 为与光轴夹角）。

球面折射矩阵与平移矩阵分别为：

折射：M_ref = [[1, 0], [-(n' - n)/(n'·R), n/n']]
平移：M_trans = [[1, d], [0, 1]]

其中 d 为沿光轴传播距离。一个厚度为 t、折射率为 n、置于空气中的透镜，其系统矩阵为：

M = M_ref2 · M_trans(t/n) · M_ref1

注意平移矩阵中的距离应取约化距离 t/n，这是矩阵光学处理介质内传播的标准做法。系统矩阵的 -C 元素即为整个透镜的光焦度 Φ = -C，有效焦距 EFL = -1/C（空气中）。当 t → 0 时，该结果严格退化为造镜者公式，这为薄透镜公式提供了自洽性检验。

矩阵方法的工程价值在于：它把“曲率—厚度—折射率”三者放进同一个可编程的计算链条，且天然支持多表面、多介质级联，是后续扩展到双胶合、非球面或阵列整体建模的基础。

四、焦距初步计算流程

把上述关系组织成可执行的初算流程，通常分四步。第一步，由应用需求确定目标焦距 f 与单元口径 D，并据此估算数值孔径 NA ≈ D/(2f)（空气中近似），判断是否仍在近轴可接受范围。第二步，选定材料折射率 n，常见光学塑料 PMMA 约 1.49、光学玻璃 BK7 约 1.52，具体数值以所选材料数据为准。第三步，按对称双凸假设用 R = 2f(n-1) 求初始曲率半径，或按工艺约束固定一面为平面、另一面承担全部光焦度，此时 R = f(n-1)。第四步，用矩阵法代入实际中心厚度 t 计算 EFL，与目标值比较，偏差超过约 5% 时回代修正 R 或 t。

举一个明确标注为示例的计算：设目标 f = 200 μm，材料 n = 1.52，采用对称双凸。则 R = 2 × 200 × (1.52 - 1) = 208 μm。若单元口径 D = 100 μm，则 NA ≈ 100/(2×200) = 0.25，近轴近似尚可接受。再设中心厚度 t = 30 μm，用矩阵法校核：第一面光焦度 Φ₁ = (n-1)/R = 0.52/208 ≈ 2.5×10⁻³ μm⁻¹，第二面因 R₂ = -208 μm，Φ₂ 同为 2.5×10⁻³ μm⁻¹。薄透镜总光焦度约 5.0×10⁻³ μm⁻¹，对应 f ≈ 200 μm；计入厚度后 EFL 会略短于 200 μm，具体数值需按矩阵连乘得到，此处不展开为实测结论。这一偏差正是矩阵校核存在的意义。

五、工程判断与常见误区

初算阶段最容易出现的三个问题值得提前规避。其一，把曲率半径的正负号搞反，导致双凸被算成弯月，光焦度符号错误；建议在计算表中固定“凸面朝入射光为正”的约定并逐面标注。其二，忽略厚度与矢高，在 NA 较大时薄透镜公式会系统性高估焦距。其三，把材料折射率当作常数，实际上折射率随波长变化，焦距设计需明确参考波长，色差问题留待后续章节处理。

综上，焦距设计的第一性原理可以浓缩为一条主线：造镜者公式给出光焦度与曲率、折射率的线性关系，矩阵光学把厚度与介质纳入同一计算链，二者结合形成“指标—材料—曲率—校核”的初算闭环。掌握这条主线，后续讨论孔径对焦距的约束、数值孔径与聚焦光斑的关系时，就有了统一的定量出发点。