2. EOQ基础公式推导：年总成本与最优订货量

经济订货批量（EOQ）模型的核心在于平衡订货成本与持有成本，从而找到使年总库存成本最小的订货批量。本节将系统推导年总成本函数，并求解最优订货量 Q*。

2.1 模型基本假设与参数定义

EOQ 模型建立在以下理想化假设之上，这些假设构成了公式推导的边界条件：

定义以下关键参数：

• D — 年需求量（单位/年）
• S — 每次订货的固定成本（元/次）
• H — 单位库存年持有成本（元/单位·年）
• Q — 每次订货批量（单位/次），决策变量
• C — 单位采购成本（元/单位）

2.2 年总成本公式推导

年总库存成本由三部分构成：年采购成本、年订货成本和年持有成本。

1. 年采购成本 = 年需求量 × 单位成本 = D × C
2. 年订货成本 = 年订货次数 × 每次订货成本 = (D / Q) × S
3. 年持有成本 = 平均库存量 × 单位持有成本 = (Q / 2) × H

因此，年总成本函数为：

TC(Q) = D × C + (D / Q) × S + (Q / 2) × H

其中，D×C 为固定成本，不随 Q 变化；后两项为可变成本，随 Q 变化而反向或同向变动。

2.3 最优订货量 Q* 的数学推导

为求使 TC(Q) 最小的 Q，对 TC(Q) 关于 Q 求一阶导数，并令其等于零：

d(TC) / dQ = d(D×C)/dQ + d((D/Q)×S)/dQ + d((Q/2)×H)/dQ
           = 0 + (-D×S / Q²) + (H / 2)

令 d(TC)/dQ = 0：
  -D×S / Q² + H / 2 = 0
  H / 2 = D×S / Q²
  Q² = (2 × D × S) / H
  Q* = √(2 × D × S / H)

二阶导数验证：

d²(TC)/dQ² = 2 × D × S / Q³ > 0 （对于 Q > 0 恒成立）

二阶导数为正，确认 Q* 为全局最小值点。

2.4 EOQ 成本结构可视化

下图展示了年总成本、年订货成本、年持有成本随订货批量 Q 的变化趋势，以及最优订货量 Q* 的位置：

2.5 EOQ 公式应用示例

某企业年需求 D = 12,000 件，每次订货成本 S = 300 元，单位年持有成本 H = 5 元。计算最优订货量：

Q* = √(2 × 12,000 × 300 / 5)
   = √(7,200,000 / 5)
   = √1,440,000
   = 1,200 件/次

对应的年总成本（不含采购成本）：

TC(Q*) = (12,000/1,200)×300 + (1,200/2)×5
       = 10×300 + 600×5
       = 3,000 + 3,000
       = 6,000 元

2.6 EOQ 参数敏感性分析

下表展示了各参数变化对 Q* 和总成本的影响程度：

从敏感性分析可知，需求预测误差和订货成本估算偏差对 EOQ 的影响最为显著，在工程实践中应优先确保这两个参数的准确性。

2.7 EOQ 推导的工程意义

EOQ 公式虽然简洁，但其推导过程揭示了库存管理中的核心工程思想：

• 边际平衡原则：最优解出现在两种边际成本相等的点，这一思想可推广至多级库存、生产批量等复杂场景。
• 成本结构分解：将总成本拆解为固定部分和可变部分，便于识别成本驱动因素。
• 鲁棒性特征：总成本曲线在 Q* 附近较为平坦，即使 Q 偏离最优值 10%~20%，总成本增加通常不超过 2%，这为实际工程调整提供了容错空间。