3. 多径信道数学描述

上一节我们从物理层面看到，多径是海面与海底反射、声速剖面折射共同造成的多条传播路径叠加。要把这种物理现象交给仿真器计算，必须把它翻译成数学对象。本节围绕四个层层递进的描述工具展开：时变冲激响应、时延-多普勒扩展函数、相干带宽与相干时间，最后对比窄带与宽带模型在描述能力上的差异。

一、时变冲激响应：把多径写成可计算的叠加式

水声信道最本质的特征是"时变"：收发平台运动、海面起伏、内波扰动都会让每条路径的时延和幅度随时间缓慢变化。因此不能用一个固定的 h(τ) 描述，而要用二元函数 h(τ, t)——在观测时刻 t，信道对 τ 秒前发射的冲激的响应。对多径离散模型，最常用的写法是：

h(τ, t) = Σᵢ Aᵢ(t) · exp(jφᵢ(t)) · δ(τ − τᵢ(t))

其中：
  i          路径编号（直达径、海面反射径、海底反射径……）
  Aᵢ(t)      第 i 条路径的时变幅度（含扩展损失与反射损失）
  φᵢ(t)      第 i 条路径的时变相位（由路径长度变化引起）
  τᵢ(t)      第 i 条路径的时变传播时延
  δ(·)       狄拉克冲激，表示该路径在时延轴上的位置

这个式子的工程含义很直接：每一条路径就是时延轴上的一个"抽头"，抽头的横坐标是 τᵢ，纵坐标是复增益 Aᵢe^{jφᵢ}。仿真时，我们只需维护一张"路径表"，每个仿真时刻更新各路径的时延与复增益，再按上式合成。举例来说，若设水深 100 m、声速 1500 m/s、收发水平距离 1000 m，直达径时延约 0.667 s；一次海面反射径的几何长度约 1020 m，时延约 0.680 s，两者相差约 13 ms——这个时延差直接决定了后面相干带宽的量级。

需要特别强调相位项 φᵢ(t) 的敏感性。声波频率若为 12 kHz，波长仅 0.125 m，路径长度变化半个波长（6 cm）就会让相位翻转 180°。因此平台以 1 m/s 移动时，相位在毫秒量级就可能显著变化，这正是水声信道"快衰落"的根源，也是时变冲激响应不能退化为时不变模型的原因。

二、时延-多普勒扩展函数：把时变拆成"时延×频移"

h(τ, t) 沿时间轴做傅里叶变换，就得到时延-多普勒扩展函数 S(τ, ν)：

S(τ, ν) = ∫ h(τ, t) · exp(−j2πνt) dt

它的物理意义是：信道在时延 τ 处、多普勒频移 ν 处存在多少散射能量。对匀速运动的简单场景，每条路径的多普勒近似为 νᵢ ≈ (v/λ)·cosθᵢ，θᵢ 是路径方向与运动方向的夹角。仍用上例：若接收平台以 1 m/s 远离声源，λ = 0.125 m，则直达径多普勒约 −8 Hz；而海面反射径的到达角不同，多普勒可能只有 −3 Hz。于是 S(τ, ν) 平面上出现两个分离的亮点，横坐标差 13 ms、纵坐标差 5 Hz。

这个二维表示的价值在于：它把"时延扩展"和"多普勒扩展"放在同一张图上，一眼就能看出信道是"时延弥散为主"还是"频移弥散为主"。浅海远距离信道常表现为时延扩展大（几十毫秒）、多普勒小（几赫兹）；而高速平台场景则多普勒可达几十赫兹。仿真中若采用扩频或OFDM，S(τ, ν) 的支撑范围直接决定保护间隔与子载波间隔的选取。

三、相干带宽与相干时间：把二维扩展压缩成两个标量

工程上我们往往不需要完整的 S(τ, ν)，而需要两个能快速判断"信道好不好用"的标量。它们由扩展函数的二阶统计量导出：

• 相干带宽 B_c：频率间隔超过 B_c 的两个频率分量，其信道响应近似不相关。对时延扩展为均方根值 στ 的信道，常用近似 B_c ≈ 1/(5στ)（相关系数 0.5 判据）。若上例中多径时延差 13 ms 对应 στ ≈ 5 ms，则 B_c ≈ 40 Hz。
• 相干时间 T_c：时间间隔超过 T_c 的两个时刻，信道响应近似不相关。对最大多普勒 ν_max，常用 T_c ≈ 0.4/ν_max。若 ν_max = 8 Hz，则 T_c ≈ 50 ms。

这两个参数构成一个"信道资源方格"：信号带宽若远小于 B_c、符号周期若远小于 T_c，信道在方格内近似平坦慢变，均衡器可以很简单；反之则必须做宽带均衡或分集。下面的图把本节四个数学对象串成一条从"物理多径"到"工程判据"的推导链，并标出窄带与宽带模型的分岔点。

四、窄带与宽带模型：不是精度高低，而是适用边界

很多初学者误以为宽带模型"更准确"，因此一律用宽带。实际上两者是适用条件不同的近似。窄带模型把整个信号带宽内的信道视为一个复增益 g(t) = A(t)e^{jφ(t)}，接收信号简化为 r(t) = g(t)s(t) + n(t)。它成立的前提是信号带宽远小于相干带宽，即 B·στ ≪ 1。若取 B = 1 kHz、στ = 5 ms，则 B·στ = 5，远大于 1，此时窄带假设彻底失效——多径时延差已经跨越 5 个符号周期，码间干扰不可忽略。

宽带模型则保留完整的抽头结构，接收信号写成卷积形式 r(t) = ∫ h(τ,t)s(t−τ)dτ + n(t)。在离散仿真中，这等价于一个抽头延迟线：把 s(t) 按采样间隔延迟，各抽头乘以对应的复增益后求和。实现时要注意两点：其一，抽头间隔应不大于 1/B，否则会丢失可分辨多径；其二，抽头数应覆盖最大时延扩展，上例中 13 ms 的时延差在 10 kHz 采样率下对应约 130 个抽头，若截断到 50 个抽头就会丢掉后面的反射径。

五、一个可复现的建模小例

假设我们要为一个浅海 3 径信道建立仿真模型，参数设定为：声速 1500 m/s，直达径长度 1000 m，海面反射径 1020 m，海底反射径 1060 m，载频 12 kHz，接收平台径向速度 1 m/s。按前述公式可得：τ₁ = 0.667 s、τ₂ = 0.680 s、τ₃ = 0.707 s，时延扩展约 40 ms，取 στ ≈ 15 ms，则 B_c ≈ 13 Hz；多普勒约 −8 Hz，T_c ≈ 50 ms。此时若信号带宽为 2 kHz，B·στ = 30，显然属于宽带场景，必须用三抽头延迟线模型，并在接收端预留不少于 40 ms 的均衡窗口。这个例子中的数值均为教学假设，实际建模时应以实测声速剖面和路径几何为准。

把四个数学对象连起来看：时变冲激响应是"原始数据"，时延-多普勒扩展函数是"二维画像"，相干带宽与相干时间是"两个标量判据"，而窄带/宽带模型则是"根据判据做出的建模决策"。掌握这条链条，后续的信道估计、均衡器设计和仿真参数选取才有明确的数学依据。