3. 单相机标定基础：张正友标定法原理、棋盘格/圆点标定板设计、单应性矩阵求解、内参外参分离优化

单相机标定是3D视觉的基石，其核心目标是从二维图像中恢复相机的内参（焦距、主点、畸变）和外参（旋转、平移）。张正友标定法（Zhang’s Method）因其操作简便、精度高，成为工业界和学术界最广泛使用的标定方法。本节将深入剖析其原理、标定板设计、单应性矩阵求解以及内参外参的分离优化策略。

3.1 张正友标定法核心原理

张正友标定法利用一个平面标定板（如棋盘格或圆点阵列），通过拍摄多张不同姿态的标定板图像，建立2D图像点与3D世界点之间的投影关系。其核心思想是：先通过单应性矩阵（Homography）求解内参的线性初值，再通过非线性优化（如Levenberg-Marquardt）精化所有参数（包括畸变系数）。

整个流程可概括为以下步骤：

1. 采集图像：从不同角度拍摄标定板（至少3张，建议10-20张）。
2. 特征提取：提取棋盘格角点或圆点圆心坐标（亚像素精度）。
3. 计算单应性矩阵：对每张图像，求解世界平面到图像平面的单应性矩阵 H。
4. 求解内参初值：利用单应性矩阵的约束条件，线性求解内参矩阵 K。
5. 求解外参初值：根据内参和单应性矩阵，计算每张图像的外参（R, t）。
6. 非线性优化：考虑镜头畸变，对所有参数进行全局优化，最小化重投影误差。

3.2 标定板设计：棋盘格 vs. 圆点标定板

标定板是标定精度的物理基础。棋盘格和圆点标定板是两种最常用的类型，各有优劣。

设计关键参数：

• 棋盘格：内角点数量建议为 9x6 或 11x8；方格边长需精确测量（如 30mm）。
• 圆点标定板：圆点数量建议为 7x7 或 11x9；圆点直径与间距比例建议为 1:2 或 1:3；需确保圆心距精确已知。
• 材质：使用哑光纸或铝基板，避免反光；对于高精度标定，建议使用陶瓷或玻璃基板。

3.3 单应性矩阵求解

单应性矩阵 H 描述了世界平面（Z=0）到图像平面的透视变换。对于标定板上的每个特征点，其投影关系为：

s * [u, v, 1]^T = K * [r1, r2, t] * [X, Y, 1]^T = H * [X, Y, 1]^T

其中，H 是一个 3x3 的矩阵（自由度为8，因为尺度因子 s 可归一化）。

求解步骤：

1. 构建线性方程组：每对匹配点 (X, Y) ↔ (u, v) 提供两个方程，至少需要4对点（无共线三点）即可求解 H。
2. 直接线性变换（DLT）：将 H 的9个元素作为未知数，构建 Ah=0 的齐次线性方程组，通过 SVD 分解求解最小二乘解。
3. 归一化：在 DLT 之前，对图像坐标和世界坐标进行平移和缩放归一化，可显著提高数值稳定性。
4. 非线性精化：以 DLT 结果为初值，使用 Levenberg-Marquardt 算法最小化重投影误差，得到更精确的 H。

3.4 内参外参分离优化

得到每张图像的 H 后，需要从中分离出内参 K 和外参 (R, t)。张正友标定法利用旋转矩阵的正交性（r1^T r2 = 0 且 ||r1|| = ||r2|| = 1）来建立约束方程。

内参求解（线性初值）：

• 将 H 分解为 H = [h1, h2, h3] = λK[r1, r2, t]。
• 利用正交约束：h1^T K^{-T} K^{-1} h2 = 0 和 h1^T K^{-T} K^{-1} h1 = h2^T K^{-T} K^{-1} h2。
• 令 B = K^{-T} K^{-1}（对称矩阵），上述约束可转化为关于 B 的线性方程组。通过多张图像（至少3张）的约束，可线性求解 B，再通过 Cholesky 分解得到 K。

外参求解：

• 得到 K 后，对每张图像：r1 = λK^{-1}h1, r2 = λK^{-1}h2, r3 = r1 × r2, t = λK^{-1}h3。
• 其中 λ = 1/||K^{-1}h1|| = 1/||K^{-1}h2||。由于噪声，计算出的 R 可能不满足正交性，需通过 SVD 或 QR 分解将其投影到最接近的正交旋转矩阵。

全局非线性优化：

线性求解得到的参数只是初值，还需考虑镜头畸变（径向畸变 k1, k2 和切向畸变 p1, p2）。最终优化目标是最小化所有图像上所有特征点的重投影误差：

min Σ Σ || u_ij - u_hat(K, R_i, t_i, k1, k2, p1, p2, X_j) ||^2

使用 Levenberg-Marquardt 或 Bundle Adjustment 算法进行迭代优化，得到最终的高精度标定结果。

3.5 标定结果评估与验证

标定完成后，必须对结果进行定量评估，以确保其可靠性。