2. 相机成像模型：针孔相机模型原理、内参矩阵、畸变模型

相机成像模型是3D视觉的数学基石，它将三维世界中的点映射到二维图像平面上。本章从最经典的针孔相机模型出发，逐步拆解内参矩阵、外参矩阵和畸变模型，为后续多相机联合标定建立统一的数学语言。

2.1 针孔相机模型原理

针孔相机模型（Pinhole Camera Model）是几何光学中最简化的成像抽象。它假设光线沿直线传播，穿过一个无限小的针孔，在后方成像平面上形成倒立的实像。实际应用中，我们通常将成像平面“虚拟”到针孔前方（归一化平面），从而得到正立的数学等价模型。

设三维空间点 P = (X, Y, Z) 在相机坐标系下的坐标为 (X_c, Y_c, Z_c)，其投影到归一化成像平面上的坐标为：

x = Xc / Zc
y = Yc / Zc

这一过程将三维坐标压缩为二维归一化坐标，丢失了深度信息 Z_c，但保留了方向。后续通过内参矩阵将归一化坐标转换为像素坐标。

2.2 内参矩阵（Intrinsic Matrix）

内参矩阵 K 描述了从归一化成像平面到像素坐标系的仿射变换，包含焦距和主点两个核心参数。其数学形式为：

K = [ fx   0    cx ]
    [ 0    fy   cy ]
    [ 0     0     1  ]

内参矩阵将归一化坐标 (x, y) 转换为像素坐标 (u, v)：

[ u ]   [ fx   0    cx ] [ x ]
[ v ] = [ 0    fy   cy ] [ y ]
[ 1 ]   [ 0     0     1  ] [ 1 ]

展开后得到：

u = fx * x + cx
v = fy * y + cy

2.3 外参矩阵（Extrinsic Matrix）

外参矩阵 [R | t] 描述了世界坐标系到相机坐标系的刚体变换，包含旋转矩阵 R（3×3）和平移向量 t（3×1）。

Xcam = R * Xworld + t

在齐次坐标下可写为：

[ Xcam ]   [ R   t ] [ Xworld ]
[ Ycam ] = [       ] [ Yworld ]
[ Zcam ]   [ 0   1 ] [ Zworld ]
[  1   ]             [   1   ]

2.4 畸变模型（Distortion Model）

实际镜头并非理想针孔，光线通过透镜时会发生弯曲，导致图像变形。畸变主要分为径向畸变和切向畸变两类。

2.4.1 径向畸变（Radial Distortion）

径向畸变由透镜形状的非理想性引起，表现为图像点沿径向方向向内（桶形畸变）或向外（枕形畸变）偏移。常用多项式模型描述：

xcorrected = x * (1 + k1r² + k2r⁴ + k3r⁶)
ycorrected = y * (1 + k1r² + k2r⁴ + k3r⁶)

其中 r² = x² + y²，k₁、k₂、k₃ 为径向畸变系数。对于普通镜头，通常只使用 k₁、k₂；广角或鱼眼镜头需要 k₃。

2.4.2 切向畸变（Tangential Distortion）

切向畸变由镜头与成像平面不平行（装配误差）引起，导致图像点沿切线方向偏移：

xcorrected = x + [2p1xy + p2(r² + 2x²)]
ycorrected = y + [p1(r² + 2y²) + 2p2xy]

其中 p₁、p₂ 为切向畸变系数。

2.5 完整投影方程

综合内参、外参和畸变，一个三维世界点投影到像素坐标的完整流程如下：

1. 世界 → 相机： X_cam = R · X_world + t
2. 归一化投影： x = X_cam / Z_cam, y = Y_cam / Z_cam
3. 畸变校正： 对 (x, y) 应用径向 + 切向畸变模型，得到 (x_d, y_d)
4. 像素映射： u = f_x · x_d + c_x, v = f_y · y_d + c_y

2.6 参数汇总表