4. 多相机系统几何约束：多相机重叠视场、刚性变换链、全局坐标系定义与统一
多相机线扫系统的核心挑战在于：每台相机独立成像，但被测物体在物理空间中是连续的。要实现亚像素级拼接与测量，必须建立相机之间的刚性变换关系，并通过全局坐标系将各相机局部测量值统一到同一参考基准下。本章围绕重叠视场约束、刚性变换链传递、全局坐标系定义与统一三个关键环节展开。
4.1 多相机重叠视场约束
相邻线扫相机之间必须设计一定的重叠视场区域（Overlap Field of View, OFOV），该区域内的同一物理点会被两台相机同时采集。重叠视场是建立相机间空间关系的物理基础，也是标定数据关联的入口。
| 参数 | 符号 | 典型范围 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 重叠宽度 | \(W_{ov}\) | 5% ~ 15% 单相机视场宽 | 过小则匹配点不足，过大则浪费有效视场 |
| 重叠区域像素数 | \(N_{ov}\) | 100 ~ 500 pixel | 取决于线阵分辨率与物理重叠宽度 |
| 最小匹配点对数 | \(N_{min}\) | ≥ 6 对 | 保证单应性或刚性变换求解的过约束条件 |
| 特征提取精度 | \(\sigma_{feat}\) | ≤ 0.1 pixel | 亚像素角点或边缘提取 |
关键约束条件：重叠视场内的同名点必须满足刚性变换一致性。对于线扫相机，由于每行采集时间不同，重叠区域内的同名点需在时间戳对齐后方可参与空间变换求解。
4.2 刚性变换链
多相机系统中，相邻相机之间的空间关系可用刚性变换（Rigid Transformation）描述，包含旋转矩阵 \(\mathbf{R}\) 和平移向量 \(\mathbf{t}\)。若系统包含 \(N\) 台相机，则形成一条从相机 1 到相机 \(N\) 的刚性变换链：
\[ \mathbf{T}_{i \rightarrow i+1} = \begin{bmatrix} \mathbf{R}_{i,i+1} & \mathbf{t}_{i,i+1} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix}, \quad i = 1, 2, \dots, N-1 \]任意两台非相邻相机之间的变换可通过链式乘法获得：
\[ \mathbf{T}_{i \rightarrow j} = \mathbf{T}_{i \rightarrow i+1} \cdot \mathbf{T}_{i+1 \rightarrow i+2} \cdots \mathbf{T}_{j-1 \rightarrow j} \]
工程建议：刚性变换链的误差会沿链累积。当相机数量超过 4 台时，建议引入闭环约束（如首尾相机重叠视场）进行全局优化，避免末端相机产生不可接受的漂移。
刚性变换链的误差传递分析
| 相机数量 \(N\) | 单步旋转误差 (°) | 末端累积旋转误差 (°) | 末端平移误差 (mm) |
|---|---|---|---|
| 2 | 0.01 | 0.01 | 0.02 |
| 4 | 0.01 | 0.04 | 0.08 |
| 8 | 0.01 | 0.16 | 0.32 |
| 16 | 0.01 | 0.64 | 1.28 |
注意：上表为理想线性累积模型。实际系统中，由于标定板平面度、特征提取噪声、温度漂移等因素，末端误差可能比理论值大 2~5 倍。建议每 4~6 台相机设置一个全局基准回环。
4.3 全局坐标系定义与统一
全局坐标系（Global Coordinate System, GCS）是多相机系统的统一参考基准。所有相机的测量结果最终都要转换到 GCS 下，才能实现空间一致性和可重复性。
坐标系定义规则
- 原点位置：通常选在传送带起始端或第一台相机的光学中心投影点。
- Z 轴方向：垂直于传送带平面向上（或指向被测物表面法向）。
- X 轴方向：沿传送带运动方向。
- Y 轴方向：由右手定则确定，垂直于 X-Z 平面。
统一流程
- 步骤 1：每台相机建立局部坐标系（Local Coordinate System, LCS），以各自光学中心为原点。
- 步骤 2：通过标定板或共用靶标，求解 LCS 到 GCS 的变换矩阵 \(\mathbf{T}_{LCS \rightarrow GCS}\)。
- 步骤 3：所有测量点云或图像坐标先转换到 LCS，再左乘变换矩阵得到 GCS 坐标。
- 步骤 4：对重叠区域内的同名点进行加权平均或最小二乘融合，消除残差。
统一后的数据特性：在 GCS 下，同一物理点在不同相机中的测量坐标差异应小于系统允许的拼接公差（通常为 0.1~0.5 像素对应的物理尺寸）。若超出公差，需返回标定阶段重新优化变换参数。
4.4 多相机几何约束系统架构
下图展示了多相机线扫系统的几何约束关系，包括重叠视场、刚性变换链和全局坐标系的统一路径。
4.5 全局坐标系统一中的物理约束
在实际工程中，全局坐标系的统一不仅依赖数学变换，还受到以下物理约束的限制：
- 传送带平面度约束：GCS 的 Z 轴必须垂直于传送带平面，若传送带存在局部起伏，需引入平面拟合补偿。
- 运动方向一致性约束：所有相机的 X 轴必须与传送带运动方向严格平行，否则会导致拼接图像出现剪切变形。
- 时间同步约束：线扫相机的每行采集时间必须与编码器脉冲同步，确保同一物理行在不同相机中的时间戳对齐。
- 温度漂移约束：长时间运行后，相机支架热膨胀会导致变换矩阵漂移，需定期或在线重新标定。
实践技巧：在 GCS 原点附近设置一个固定基准靶标（如陶瓷十字标记），每次标定前先采集该靶标，用于检测和补偿系统漂移。该方法可将长期重复性误差控制在 0.02 mm 以内。