2. 线阵相机成像模型：针孔模型与线阵模型的区别

2.1 成像模型概述

线阵相机与面阵相机的根本区别在于传感器结构：面阵相机以二维像素阵列捕获图像，而线阵相机仅有一行（或少数几行）感光单元。这一结构差异决定了二者成像模型的不同。线阵相机的成像模型可视为针孔模型在扫描方向上的退化形式，但引入了运动维度的约束。

对比维度	面阵针孔模型	线阵模型
传感器结构	二维像素阵列 (M×N)	一维像素线 (1×N)
成像维度	一次曝光获取二维图像	逐行扫描+运动合成二维图像
投影关系	3D→2D 中心投影	3D→1D 中心投影 + 运动补偿
内参数量	焦距、主点、畸变系数	焦距、像元尺寸、主点偏移、行间距
外参自由度	6自由度 (R|t)	6自由度 (R|t) + 运动方向约束

2.2 线阵相机的内参

线阵相机的内参描述了从相机坐标系到像素坐标系的映射关系。与面阵相机不同，线阵相机的像素坐标仅有一个维度（x方向），y方向由运动累积决定。

2.2.1 内参矩阵定义

线阵相机的内参矩阵为 2×3 形式：

K = [ fx  0  cx ]
    [  0  1  cy ]

其中：

• fx — 等效焦距（像素单位），fx = f / dx，f为物理焦距，dx为像元尺寸
• cx — 主点偏移（像素单位），即光轴与传感器线的交点偏离传感器中心的距离
• cy — 通常设为0或固定值，表示线阵传感器在y方向的位置偏移（一般忽略）

2.2.2 内参参数详解

参数	符号	物理含义	典型值范围	标定难度
焦距	f	镜头光学中心到传感器的距离	8~100 mm	中等
像元尺寸	dx	单个感光单元的物理宽度	3.5~14 μm	由厂商提供
主点偏移	cx	光轴与传感器线的偏差	±0.5~±5 像素	较难
行间距	dy	相邻扫描行之间的物理间距	与像元尺寸相关	由运动系统决定

2.3 线阵相机的外参

外参描述了相机坐标系与世界坐标系之间的刚体变换关系，包含旋转矩阵R和平移向量t。对于线阵相机，外参的物理意义与面阵相机相同，但标定方法需考虑线阵成像的特殊性。

2.3.1 旋转矩阵 R

旋转矩阵 R 为 3×3 正交矩阵，由三个欧拉角（俯仰角 pitch、偏航角 yaw、翻滚角 roll）构成：

R = Rz(roll) * Ry(yaw) * Rx(pitch)

对于线阵相机，旋转参数直接影响扫描线的空间方向：

• 俯仰角 (pitch) — 绕x轴旋转，影响扫描线与运动方向的夹角
• 偏航角 (yaw) — 绕y轴旋转，影响扫描线的水平指向
• 翻滚角 (roll) — 绕z轴旋转，导致扫描线倾斜，产生图像旋转畸变

2.3.2 平移向量 t

平移向量 t = [tx, ty, tz]^T 表示相机坐标系原点在世界坐标系中的位置。对于线阵相机，平移向量的精度直接影响测量结果的精度。

平移分量	物理含义	对成像的影响
tx	沿扫描线方向的偏移	影响图像的水平位置
ty	垂直于扫描线方向的偏移	影响扫描线的纵向位置
tz	沿光轴方向的偏移	影响成像的放大倍率

2.4 线阵相机成像模型与针孔模型的对比

线阵相机的成像模型可以看作针孔模型在y方向上的“压缩”版本。下面通过SVG图直观展示两种模型的几何关系。

2.5 线阵相机成像的数学表达

线阵相机的成像过程可分解为三个步骤：

1. 世界坐标系→相机坐标系：通过外参 (R|t) 变换
2. 相机坐标系→归一化平面：透视投影到一维线上
3. 归一化平面→像素坐标系：通过内参矩阵映射

完整的投影公式为：

λ * [u, 1]^T = K * [R|t] * [Xw, Yw, Zw, 1]^T

其中：

• u — 像素坐标（一维）
• λ — 深度因子（非零常数）
• K — 2×3 内参矩阵
• [R|t] — 3×4 外参矩阵
• [Xw, Yw, Zw] — 世界坐标

2.6 线阵相机标定的特殊挑战

与面阵相机相比，线阵相机的标定面临以下独特挑战：

• 一维约束：单次曝光仅提供一维信息，需要多帧数据联合求解
• 运动耦合：相机参数与运动参数（速度、方向）相互耦合，难以分离
• 靶标设计：需要高精度的一维或二维靶标，且靶标必须与运动方向精确对齐
• 畸变模型：线阵相机的畸变主要沿扫描线方向，径向畸变退化为单方向

下面通过SVG图展示线阵相机标定的数据流与参数解耦关系。

2.7 本章小结

线阵相机的成像模型是针孔模型在一维方向上的退化，其核心区别在于：

• 内参矩阵为 2×3 形式，仅包含一个有效像素方向
• 外参与面阵相机相同，但标定需考虑运动耦合
• 成像过程必须结合运动信息才能恢复二维图像
• 标定难度高于面阵相机，需要专门设计的靶标和算法