2. 激光三角测量原理：激光器、相机与物体之间的几何关系，光平面方程推导

激光三角测量法是线结构光三维重建的核心几何基础。其本质是利用激光器投射的线激光在物体表面发生漫反射，通过相机成像平面上的光条偏移量，结合激光器与相机之间的固定几何关系，解算物体表面的深度信息。本章将系统推导这一几何模型，并建立光平面方程。

2.1 基本几何模型与坐标系定义

典型的激光三角测量系统由激光器、相机和被测物体组成。为便于数学描述，首先定义四个关键坐标系：

坐标系	符号	原点位置	说明
世界坐标系	Ow-XwYwZw	自定义基准点	描述物体和系统的位置
相机坐标系	Oc-XcYcZc	相机光心	Zc轴沿光轴方向
图像坐标系	o-xy	图像平面中心	物理单位（mm）
像素坐标系	op-uv	图像左上角	像素单位（pixel）

2.2 激光三角测量几何关系推导

为简化推导，考虑二维截面模型（Y方向不变）。设激光器位于相机左侧，光平面与相机光轴交于参考平面上的点P₀。当物体表面高度变化Δh时，激光条纹在成像平面上的偏移量为Δx。

根据相似三角形原理，可推导出深度-偏移量关系：

Δh = (b · Δx · sinβ) / (f · sinα + Δx · sin(α+β))

当系统结构固定（b, α, β, f均为已知常数）时，上式可简化为：

Δh = (K · Δx) / (C + Δx)

其中K = b·sinβ/(f·sinα)，C = sin(α+β)/sinα。该公式表明，深度与偏移量呈非线性关系，但在小偏移范围内可近似为线性。

2.3 光平面方程推导

在实际三维测量中，激光条纹在空间中的轨迹是一个平面。设光平面在相机坐标系下的方程为：

AXc + BYc + CZc + D = 0

其中(A, B, C)为光平面的法向量，D为原点到平面的距离。为求解这四个参数，通常采用标定方法：

1. 采集标定点：使用已知高度的标定块或平移台，在不同Z_w位置采集激光条纹图像。
2. 提取光条中心：对每幅图像提取激光条纹中心线的亚像素坐标(u, v)。
3. 坐标转换：利用相机内参将像素坐标(u, v)转换为相机坐标系下的归一化坐标(x_n, y_n, 1)。
4. 建立约束方程：每个标定点提供一条射线方程，射线与光平面的交点即为空间点坐标。

对于第i个标定点，其射线方程为：

Xc = λ · xn,  Yc = λ · yn,  Zc = λ

代入光平面方程可得：

A·λ·xn + B·λ·yn + C·λ + D = 0

λ = -D / (A·xn + B·yn + C)

利用至少4个非共线标定点，通过最小二乘法即可求解光平面参数(A, B, C, D)。

2.4 光平面方程与三角测量的统一模型

将光平面方程与三角测量几何关系统一，可得到完整的测量模型。对于图像上任意激光条纹点(u, v)，其对应的三维空间坐标计算流程如下：

1. 将像素坐标(u, v)转换为相机坐标系下的归一化坐标(x_n, y_n)。
2. 将归一化坐标代入光平面方程，求解深度λ。
3. 计算三维坐标：X_c = λ·x_n, Y_c = λ·y_n, Z_c = λ。
4. 通过相机外参将相机坐标系下的坐标转换到世界坐标系。

下表总结了两种方法的适用场景：

方法	优点	缺点	适用场景
二维截面三角法	计算简单，物理意义明确	仅适用于单截面，忽略Y方向变化	一维位移测量、简单轮廓扫描
光平面方程法	完整三维重建，精度高	需要标定，计算量较大	三维形貌测量、多相机系统

_c + BY_c + CZ_c + D = 0 深度 λ = -D / (A·x_n + B·y_n + C)

2.5 多相机系统中的三角测量扩展

在四相机同步采集系统中，每个相机与激光器构成独立的三角测量子系统。由于相机分布在激光条纹的不同方位，各子系统对同一激光条纹点的观测角度不同，可有效解决遮挡和盲区问题。

多相机系统的光平面标定需注意：

• 统一坐标系：所有相机的光平面方程应转换到同一世界坐标系下。
• 交叉验证：利用多视角观测数据对光平面参数进行联合优化，提高标定鲁棒性。
• 视场重叠：确保相邻相机的视场有适当重叠区域，便于数据融合。