3. 相机模型与内参标定：针孔相机模型、畸变模型、使用 ROS camera_calibration 包进行内参标定

相机内参标定是手眼标定流程中不可或缺的前置步骤。只有准确获取了相机的内参矩阵和畸变系数，才能将像素坐标可靠地映射到归一化相机坐标系，进而与机器人坐标系建立关联。本节从针孔相机模型出发，逐步引入畸变模型，并给出基于 ROS camera_calibration 包的完整标定流程。

3.1 针孔相机模型

针孔相机模型是计算机视觉中最基础的投影模型。它假设光线通过一个无限小的孔径（光心）在成像平面上形成倒立的像。为简化数学表达，通常将成像平面对称到光心前方，形成虚拟成像平面。

设空间点 P = (X, Y, Z) 在相机坐标系下的坐标为 (X_c, Y_c, Z_c)，其投影到像素平面上的坐标为 (u, v)。投影过程分为两步：

1. 归一化平面投影：将三维点投影到归一化平面 (Z=1) 上，得到归一化坐标 (x, y) = (X_c/Z_c, Y_c/Z_c)。
2. 像素坐标映射：通过内参矩阵 K 将归一化坐标转换为像素坐标。

内参矩阵 K 的标准形式为：

K = [fx   0   cx
     0   fy   cy
     0    0    1 ]

其中：

• fx, fy：分别为 x 和 y 方向上的归一化焦距（单位：像素），fx = f / dx，fy = f / dy，f 为物理焦距，dx、dy 为像元尺寸。
• cx, cy：主点坐标，即光轴与成像平面的交点（单位：像素）。

完整的投影方程可写为：

s * [u, v, 1]^T = K * [Xc, Yc, Zc, 1]^T

其中 s 为尺度因子（即 Z_c）。

3.2 畸变模型

实际相机镜头并非理想针孔，光线通过透镜时会发生折射，导致图像产生畸变。畸变主要分为两类：径向畸变和切向畸变。

其中 r² = x² + y²，(x, y) 为归一化平面上的理想坐标。畸变校正的目标是找到从畸变坐标到理想坐标的映射关系。在 ROS 中，畸变参数通常以 5 维向量形式存储：[k1, k2, p1, p2, k3]。

3.3 使用 ROS camera_calibration 包进行内参标定

ROS 提供了 camera_calibration 包，基于 OpenCV 的棋盘格标定算法，实现了半自动化的内参标定流程。该包以节点形式运行，订阅相机图像话题，通过交互式界面引导用户采集不同位姿的棋盘格图像，最终生成相机内参和畸变系数。

3.3.1 标定前准备

1. 打印棋盘格标定板：推荐使用 7×9 或 8×6 的内角点棋盘格，方格边长需精确测量（如 25mm 或 30mm）。
2. 启动相机驱动：确保相机节点已启动，并发布 /camera/image_raw 话题（或类似话题）。
3. 安装 camera_calibration 包：

sudo apt install ros-noetic-camera-calibration

3.3.2 启动标定节点

运行以下命令启动标定节点：

rosrun camera_calibration cameracalibrator.py \
  --size 7x9 \
  --square 0.025 \
  image:=/camera/image_raw \
  camera:=/camera

参数说明：

• --size：棋盘格内角点数量（列×行）。
• --square：方格边长，单位：米。
• image:=：图像话题名称。
• camera:=：相机命名空间。

3.3.3 标定操作流程

标定节点启动后会打开一个 GUI 窗口，实时显示相机画面。用户需在视野中移动棋盘格，使标定板覆盖图像的各个区域（左上、右上、左下、右下、中心、倾斜、远近）。GUI 窗口右下角的进度条会显示当前数据采集状态：

当所有进度条变为绿色时，表示数据采集充分。此时 CALIBRATE 按钮变为可用，点击即可开始计算内参。

3.3.4 标定结果与保存

标定完成后，GUI 窗口会显示重投影误差（RMS），通常应小于 0.5 像素。点击 SAVE 按钮，标定结果会以 YAML 格式保存到 /tmp/calibrationdata.tar.gz 中。解压后得到 ost.yaml 和 ost.txt 文件。

ost.yaml 文件内容示例：

image_width: 640
image_height: 480
camera_name: camera
camera_matrix:
  rows: 3
  cols: 3
  data: [532.45, 0.0, 320.12, 0.0, 534.78, 240.56, 0.0, 0.0, 1.0]
distortion_model: plumb_bob
distortion_coefficients:
  rows: 1
  cols: 5
  data: [-0.2834, 0.0735, 0.0012, -0.0008, 0.0]
rectification_matrix:
  rows: 3
  cols: 3
  data: [1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0]
projection_matrix:
  rows: 3
  cols: 3
  data: [532.45, 0.0, 320.12, 0.0, 534.78, 240.56, 0.0, 0.0, 1.0]

将 ost.yaml 复制到相机驱动的配置目录（如 ~/.ros/camera_info/camera.yaml），相机节点启动后会自动加载内参，实现实时畸变校正。

3.4 标定质量评估

标定完成后，建议从以下维度评估标定质量：