📚 课程目录第3章刚体变换与齐次矩阵

3. 刚体变换与齐次矩阵：旋转矩阵、平移向量、齐次变换矩阵（4×4）的数学表示与链式乘法法则

在 Eye-to-Hand 标定中，机器人基座、相机、标定板、机械臂末端之间的空间关系，本质上是刚体变换。刚体变换只包含旋转和平移，不改变物体的形状和大小。本章将系统建立刚体变换的数学工具：旋转矩阵、平移向量、齐次变换矩阵及其链式乘法法则，为后续标定方程推导奠定基础。

旋转矩阵是一个 3×3 的正交矩阵，行列式为 +1，用于描述一个坐标系相对于另一个坐标系的姿态。设坐标系 {B} 相对于 {A} 的旋转矩阵为 R_AB，其列向量是 {B} 的基向量在 {A} 中的投影。

  关键理解：旋转矩阵的每一列就是被描述坐标系的基向量在参考坐标系中的坐标。例如，RAB 的第一列是 {B} 的 xB 轴在 {A} 中的表示。

平移向量 t_AB 是一个 3×1 的列向量，表示坐标系 {B} 的原点在坐标系 {A} 中的位置坐标。当已知点 P 在 {B} 中的坐标 ^Bp，要转换到 {A} 中的坐标 ^Ap，完整的刚体变换公式为：

^Ap = R_AB · ^Bp + t_AB

其中：

为了将旋转和平移统一为线性变换，引入齐次坐标。将三维点 p = (x, y, z)^T 扩展为齐次坐标 p̃ = (x, y, z, 1)^T。刚体变换可写为 4×4 齐次变换矩阵 T：

      ┌              ┐
      │  R_3×3   t_3×1 │
T = │              │
      │  0_1×3     1   │
      └              ┘

点变换公式简化为：

^Ap̃ = T_AB · ^Bp̃

齐次坐标的优势：将旋转和平移合并为一次矩阵乘法，避免了加法的非线性操作，使得连续变换可以通过矩阵链式乘法统一处理。

_1×3 1 旋转：描述姿态平移：描述位置齐次形式保证 T 的逆矩阵：T⁻¹ = [ R^T −R^Tt ; 0 1 ]

在机器人标定中，经常需要将点从一个坐标系经过多个中间坐标系变换到目标坐标系。齐次变换矩阵的链式乘法法则使得这种传递变得简洁：

T_AD = T_AB · T_BC · TCD

物理含义：从 {A} 到 {D} 的变换，等于依次经过 {B}、{C} 的变换矩阵连乘。注意乘法顺序：左乘表示相对于固定参考系变换，右乘表示相对于当前坐标系变换。在标定中，我们通常使用左乘链式法则。

常见错误：矩阵乘法不满足交换律。T_AB · T_BC ≠ T_BC · T_AB。必须严格按照坐标系传递顺序从左到右书写。

在 Eye-to-Hand 配置中，相机固定安装，标定板安装在机械臂末端。典型的变换链涉及以下坐标系：

标定板上的点从 Board 系到 Camera 系的变换，可以通过两条路径闭合：

路径1（直接测量）：^Camerap = T_Camera,Board · ^Boardp
路径2（通过机器人）：^Camerap = T_Camera,Base · T_Base,End · T_End,Board · ^Boardp

令两条路径相等，得到 Eye-to-Hand 标定的基本方程：

T_Camera,Board = T_Camera,Base · T_Base,End · T_End,Board

其中 T_Camera,Base 是待求的相机到基座变换，T_Base,End 由机器人正运动学提供，T_End,Board 是标定板在末端上的安装变换（通常已知或可标定），T_Camera,Board 由相机拍摄标定板图像解算得到。

_Base,End T_End,Board T_Camera,Board T_Camera,Base (待求) 闭合约束：T_Camera,Board = T_Camera,Base · T_Base,End · T_End,Board

在标定计算中，经常需要求变换矩阵的逆。对于齐次变换矩阵 T，其逆矩阵具有简洁形式：

      ┌              ┐
      │  R^T   −R^Tt │
T⁻¹ = │              │
      │  0        1   │
      └              ┘

这一性质使得坐标系之间的反向变换计算非常高效，无需进行通用的 4×4 矩阵求逆。

  标定实践要点：
  所有变换矩阵必须满足刚体约束：R 为正交矩阵，det(R)=+1
链式乘法时，中间矩阵的维度必须匹配：前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数
使用齐次矩阵可以避免在代码中分别处理旋转和平移，减少编程错误
在数值计算中，注意旋转矩阵的正交性可能因噪声而退化，必要时进行正交化修正