2. 坐标系基础：世界坐标系、机器人基坐标系、工具坐标系、相机坐标系、标定板坐标系定义与变换关系

在 Eye-to-Hand 标定中，所有测量与运动都建立在多个坐标系之间的精确变换之上。理解每个坐标系的定义、物理附着对象以及它们之间的变换链，是标定成功的前提。本章将系统定义五个核心坐标系，并给出它们之间的数学变换关系。

2.1 五大坐标系定义

2.2 坐标系变换关系总览

Eye-to-Hand 标定的核心是求解相机坐标系 {C} 到机器人基坐标系 {B} 的变换矩阵 ^B_CT。该变换一旦确定，相机检测到的物体位置即可转换到机器人运动空间。下图展示了五个坐标系之间的完整变换链：

2.3 变换矩阵与齐次坐标

所有坐标系之间的变换均使用 4×4 齐次变换矩阵 表示，包含旋转分量 R（3×3）和平移分量 t（3×1）：

      | R11  R12  R13  tx |
T =   | R21  R22  R23  ty |
      | R31  R32  R33  tz |
      |  0    0    0    1  |

齐次坐标点 P = [x, y, z, 1]^T 通过左乘变换矩阵实现坐标系转换：

AP = ABT · BP

2.4 关键变换链详解

在 Eye-to-Hand 标定过程中，以下变换链构成闭环约束，是求解目标变换 ^B_CT 的核心方程：

1. 机器人基坐标系 → 工具坐标系（^B_TT）：由机器人正向运动学计算得出，依赖于关节角度 q 和机器人 DH 参数。该变换在每次机器人运动时实时更新。
2. 工具坐标系 → 标定板坐标系（^T_PT）：当标定板固定在机器人末端时，该变换为固定值，可通过工具标定或设计图纸获得。在 Eye-to-Hand 配置中，标定板通常固定在机器人末端。
3. 相机坐标系 → 标定板坐标系（^C_PT）：通过相机拍摄标定板图像，利用 PnP 算法求解。该变换在每次拍摄时重新计算，是标定过程中的观测值。
4. 机器人基坐标系 → 相机坐标系（^B_CT）：待求解的目标变换，在标定过程中保持不变（相机固定安装）。

2.5 闭环方程与标定原理

对于机器人运动到第 i 个位姿，存在以下闭环关系：

BCT · CPTi = BTTi · TPT

其中：

• ^B_CT —— 未知，待求解（固定值）
• ^C_PT_i —— 第 i 次拍摄的观测值（相机外参）
• ^B_TT_i —— 第 i 次拍摄的机器人位姿（运动学计算）
• ^T_PT —— 已知固定值（工具到标定板）

通过采集多组（N ≥ 3）不同位姿下的观测数据，构建超定方程组，即可求解 ^B_CT。常用的求解方法包括 Tsai-Lenz 两步法 和 非线性优化法，将在后续章节详细展开。

2.6 坐标系变换的工程实现

在实际编程中，通常使用机器人库（如 robotics-toolbox、KDL）或线性代数库（如 Eigen、NumPy）来管理变换矩阵。以下是一个典型的 Python 伪代码片段，展示如何构建闭环方程：

import numpy as np

# 定义齐次变换矩阵类
class Transform:
    def __init__(self, R=np.eye(3), t=np.zeros(3)):
        self.T = np.eye(4)
        self.T[:3, :3] = R
        self.T[:3, 3] = t
    
    def __mul__(self, other):
        return Transform.from_matrix(self.T @ other.T)
    
    @staticmethod
    def from_matrix(mat):
        result = Transform()
        result.T = mat
        return result

# 标定数据：假设已采集 N 组数据
N = 10
B_T_T_list = []  # 机器人位姿列表
C_P_T_list = []  # 相机外参列表
T_P_T = Transform()  # 工具到标定板的固定变换

# 构建方程：B_C_T * C_P_T_i = B_T_T_i * T_P_T
# 对于每组数据，整理为 AX = XB 形式
for i in range(N):
    A_i = B_T_T_list[i] * T_P_T
    B_i = C_P_T_list[i]
    # 求解 A_i * X = X * B_i
    # 具体求解算法见后续章节

2.7 坐标系变换的精度影响因素