4. 旋转表示法：欧拉角、旋转向量（轴角）、四元数的定义、相互转换及在机器人中的应用

在机器人视觉与点云配准中，三维旋转的表示方式直接影响标定精度、计算效率与算法稳定性。本章系统梳理三种最常用的旋转表示法——欧拉角、旋转向量（轴角）、四元数，涵盖其数学定义、核心特性、相互转换公式以及在 Eye-to-Hand 标定与点云配准中的典型应用场景。

4.1 欧拉角（Euler Angles）

4.1.1 定义与约定

欧拉角通过三个依次绕坐标轴旋转的角度来描述刚体姿态。最常见的约定是 ZYX 顺序（偏航-俯仰-横滚）：

• 偏航角（Yaw, ψ）：绕 Z 轴旋转
• 俯仰角（Pitch, θ）：绕 Y 轴旋转
• 横滚角（Roll, φ）：绕 X 轴旋转

旋转矩阵 R 由三个基本旋转矩阵按顺序右乘得到：

R = R_z(ψ) · R_y(θ) · R_x(φ)

4.1.2 万向锁（Gimbal Lock）

当俯仰角 θ = ±90° 时，偏航与横滚的旋转轴重合，导致系统丢失一个自由度。这是欧拉角在机器人控制与标定中的主要缺陷。

4.2 旋转向量（轴角，Axis-Angle）

4.2.1 定义

旋转向量用一个单位向量 k 表示旋转轴，用一个标量 θ 表示绕该轴的旋转角度。其数学形式为：

旋转向量 = θ · k = [θ·k_x, θ·k_y, θ·k_z]^T

其中 ||k|| = 1，θ ∈ [0, π]。

4.2.2 罗德里格斯公式（Rodrigues' Formula）

旋转向量到旋转矩阵的转换由罗德里格斯公式给出：

R = I + sin(θ) · K + (1 - cos(θ)) · K²

其中 K 为 k 的反对称矩阵：
K = [[0,   -k_z,  k_y],
     [k_z,  0,   -k_x],
     [-k_y, k_x,  0  ]]

4.3 四元数（Quaternion）

4.3.1 定义

四元数由一个实部和三个虚部构成，用于表示三维旋转：

q = w + x·i + y·j + z·k

其中 w² + x² + y² + z² = 1（单位四元数）

单位四元数与旋转向量之间存在直接对应关系：

q = [cos(θ/2), k_x·sin(θ/2), k_y·sin(θ/2), k_z·sin(θ/2)]^T

4.3.2 四元数的优势

• 无奇异性：不存在万向锁问题
• 紧凑：仅需 4 个参数，比旋转矩阵（9 个）更节省存储
• 高效插值：球面线性插值（SLERP）可实现平滑旋转过渡
• 复合运算：旋转复合通过四元数乘法实现，计算效率高

4.4 三种表示法的相互转换

4.5 在机器人中的应用对比

4.6 旋转表示法关系总览

4.7 代码示例：四元数与旋转向量互转（Python）

import numpy as np

def rotation_vector_to_quaternion(rot_vec):
    """旋转向量 → 四元数"""
    theta = np.linalg.norm(rot_vec)
    if theta < 1e-10:
        return np.array([1.0, 0.0, 0.0, 0.0])
    k = rot_vec / theta
    q = np.array([
        np.cos(theta / 2),
        k[0] * np.sin(theta / 2),
        k[1] * np.sin(theta / 2),
        k[2] * np.sin(theta / 2)
    ])
    return q

def quaternion_to_rotation_vector(q):
    """四元数 → 旋转向量"""
    q = q / np.linalg.norm(q)  # 归一化
    theta = 2 * np.arccos(np.clip(q[0], -1.0, 1.0))
    if theta < 1e-10:
        return np.array([0.0, 0.0, 0.0])
    k = q[1:] / np.sin(theta / 2)
    return theta * k

# 示例：绕 Z 轴旋转 90 度
rot_vec = np.array([0.0, 0.0, np.pi/2])
q = rotation_vector_to_quaternion(rot_vec)
print("四元数:", q)
# 输出: [0.7071, 0, 0, 0.7071]

rot_vec_back = quaternion_to_rotation_vector(q)
print("恢复旋转向量:", rot_vec_back)
# 输出: [0, 0, 1.5708]