2. 坐标系基础：世界坐标系、机器人基坐标系、机器人末端坐标系、相机坐标系、像素坐标系、坐标系之间的变换关系

在3D视觉定位系统中，坐标系是连接“相机看到什么”与“机器人要抓哪里”的数学桥梁。手眼标定的本质，就是求解不同坐标系之间的变换矩阵。本章将系统梳理5个核心坐标系及其变换关系，为后续标定算法打下坚实的几何基础。

2.1 五大核心坐标系概述

一个典型的眼在手外（Eye-to-Hand）或眼在手上（Eye-in-Hand）系统，至少涉及以下5个坐标系：

2.2 坐标系定义与方向约定

所有坐标系均遵循右手定则：

• X轴：拇指指向
• Y轴：食指指向
• Z轴：中指指向（垂直于X-Y平面）

各坐标系的具体方向约定如下：

• 世界坐标系 (W)：通常Z轴向上（与重力方向相反），X-Y平面为水平工作台面。
• 机器人基坐标系 (B)：由机器人厂家定义。常见为Z轴向上，X轴指向机器人前方。
• 机器人末端坐标系 (E)：原点在法兰盘中心。Z轴通常沿法兰盘轴线向外（工具安装方向）。
• 相机坐标系 (C)：Z轴沿相机光轴指向场景前方（右手系），X轴向右，Y轴向下（与像素坐标系对齐）。
• 像素坐标系 (P)：原点在图像左上角，u轴向右（对应相机X轴），v轴向下（对应相机Y轴）。

2.3 坐标系变换的数学表示

任意两个坐标系之间的变换，由一个4×4齐次变换矩阵表示：

| R   t |
| 0   1 |

其中：

• R：3×3旋转矩阵（描述姿态）
• t：3×1平移向量（描述位置）
• 0：1×3零向量
• 1：标量1

例如，^BT_E 表示从机器人末端坐标系到机器人基坐标系的变换。一个点P在末端坐标系下的坐标 ^EP，可通过该矩阵变换到基坐标系：

^B P = ^B T_E · ^E P

2.4 坐标系之间的变换关系（核心链式结构）

整个系统的坐标系变换构成一条闭环链。以眼在手外系统为例，核心变换链如下：

1. 世界 → 机器人基（^WT_B）：通常通过外部测量或固定安装确定，标定后视为已知常量。
2. 机器人基 → 机器人末端（^BT_E）：由机器人正运动学实时计算，可从机器人控制器读取。
3. 机器人末端 → 相机（^ET_C）：眼在手上系统的标定目标。
4. 相机 → 像素（^CT_P）：相机内参矩阵，通过相机标定获得。
5. 世界 → 相机（^WT_C）：眼在手外系统的标定目标。

u = f_x * (X_c / Z_c) + c_x
v = f_y * (Y_c / Z_c) + c_y

| u |   | f_x  0   c_x  0 | | X_c |
| v | = | 0   f_y  c_y  0 | | Y_c |
| 1 |   | 0    0    1   0 | | Z_c |
                            |  1  |

^C T_Obj = ^C T_W · ^W T_Obj

^B T_Obj = ^B T_E · ^E T_C · ^C T_Obj