📚 课程目录第4章坐标系基础

4. 坐标系基础：世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系定义与转换关系

在3D线扫相机手眼标定中，坐标系是描述空间点位置的数学基础。理解四个核心坐标系——世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系——及其转换关系，是进行标定、重建与机器人引导的前提。

4.1 四大坐标系定义

坐标系	符号	维度	原点与轴定义	单位
世界坐标系	O_w-X_wY_wZ_w	3D	用户自定义，通常选在机器人基座或标定板角点；Z_w 一般垂直向上	mm / m
相机坐标系	O_c-X_cY_cZ_c	3D	原点在相机光心；Z_c 沿光轴指向场景前方；X_c 向右，Y_c 向下	mm / m
图像坐标系	O_i-xy	2D	原点在图像平面与光轴交点（主点）；x 向右，y 向下	mm
像素坐标系	O_p-uv	2D	原点在图像左上角；u 向右（列），v 向下（行）	pixel

关键区分：图像坐标系以物理长度（mm）为单位，描述点在成像平面上的实际位置；像素坐标系以离散像素为单位，描述点在数字图像中的行列索引。两者通过像素尺寸和主点偏移关联。

4.2 坐标系转换全链路

一个空间点从世界坐标系到像素坐标系的完整转换分为四个步骤，构成一条不可逆的流水线：

世界 → 相机：刚体变换（旋转 + 平移），即相机外参。
相机 → 图像：透视投影（针孔模型），将3D点映射到2D成像平面。
图像 → 像素：仿射变换（缩放 + 平移），将物理坐标离散化为像素坐标。

数学表达（齐次坐标形式）：

s * [u, v, 1]^T = K * [R | t] * [Xw, Yw, Zw, 1]^T

其中：
s —— 尺度因子（深度）；
K —— 相机内参矩阵（3×3）；
[R | t] —— 相机外参矩阵（3×4）；
[Xw, Yw, Zw, 1]^T —— 世界坐标系下的齐次坐标。

_w-X_wY_wZ_w 相机坐标系 O_c-X_cY_cZ_c 图像坐标系 O_i-xy 像素坐标系 O_p-uv 外参 [R|t] 投影针孔模型离散化仿射变换转换关系说明 1. 世界→相机：刚体变换，包含旋转矩阵 R（3×3）和平移向量 t（3×1）。 2. 相机→图像：透视投影，利用相似三角形将 3D 点映射到 2D 成像平面。 3. 图像→像素：缩放（dx, dy）和平移（u0, v0），将物理坐标转为像素索引。

4.3 各步转换详解

4.3.1 世界坐标系 → 相机坐标系（外参）

设世界坐标系下一点 P_w = (X_w, Y_w, Z_w)^T，其在相机坐标系下的坐标为：

Pc = R * Pw + t

其中 R 为 3×3 旋转矩阵，t 为 3×1 平移向量。R 和 t 统称为相机外参，描述了相机在世界坐标系中的位姿。

常见误区：外参矩阵 [R | t] 是将世界点变换到相机坐标系，而非将相机变换到世界坐标系。两者互为逆变换。在手眼标定中，外参通常指相机相对于机器人末端或基座的位姿。

4.3.2 相机坐标系 → 图像坐标系（透视投影）

根据针孔成像模型，相机坐标系下一点 (X_c, Y_c, Z_c) 在图像平面上的投影坐标为：

x = f * Xc / Zc
y = f * Yc / Zc

其中 f 为相机焦距（单位：mm）。该映射将 3D 点压缩到 2D 平面，丢失了深度信息 Z_c。

4.3.3 图像坐标系 → 像素坐标系（离散化）

图像坐标系下的物理坐标 (x, y) 转换为像素坐标 (u, v) 的公式为：

u = x / dx + u0
v = y / dy + v0

其中：
dx, dy —— 单个像素在 x 和 y 方向的物理尺寸（mm/pixel）；
(u0, v0) —— 主点（光轴与图像平面交点）的像素坐标。

将上述两步合并，得到相机内参矩阵 K：

K = | fx  0  u0 |
    |  0  fy v0 |
    |  0   0  1 |

其中 fx = f / dx，fy = f / dy，单位为像素。

_c 光轴 Z_c 成像平面主点 (u0, v0) P 投影点 p (x, y) 焦距 f 深度 Z_c 几何关系由相似三角形：x / f = X_c / Z_c，y / f = Y_c / Z_c。成像平面位于光心前方 f 处（虚拟像平面）。

4.4 线扫相机的坐标系特殊性

与面阵相机不同，线扫相机每次只采集一行像素，其坐标系转换有以下特点：

图像坐标系退化为线状：线扫相机的成像平面只有一行感光元件，图像坐标系 y 方向由运动平台位移提供。
像素坐标系 uv 中，v 方向代表运动方向：每触发一次采集，v 增加 1，u 为线阵方向像素索引。
需要引入运动轴坐标系：通常将编码器或光栅尺的读数映射为 v 方向坐标，形成“虚拟图像坐标系”。
外参标定更复杂：需要同时标定相机相对于运动方向的旋转和平移，即“线扫手眼标定”。

线扫相机内参矩阵 K 的变体：

K_line = | fx  0  u0 |
         |  0  1   0 |
         |  0  0   1 |

注意 fy 被固定为 1，因为 y 方向（运动方向）的尺度由外部编码器决定，而非相机内部参数。

4.5 坐标系转换在标定中的实际意义

标定步骤	涉及的坐标系转换	求解参数
相机内参标定	图像坐标系 ↔ 像素坐标系	fx, fy, u0, v0, 畸变系数
手眼标定（固定相机）	世界坐标系 ↔ 相机坐标系	相机相对于机器人基座的位姿
手眼标定（移动相机）	世界坐标系 ↔ 相机坐标系 ↔ 机器人末端坐标系	相机相对于机器人末端的位姿
线扫运动标定	运动轴坐标系 ↔ 像素坐标系 v 方向	编码器分辨率、运动方向与相机夹角

实践建议：在开始手眼标定之前，务必先完成相机内参标定，并确认像素尺寸 dx、dy 和主点 (u0, v0) 的精度。内参误差会直接传递到外参标定结果中，导致机器人抓取或测量偏差。