📚 课程目录第3章手眼标定基础

3、手眼标定基础：从问题定义到方程推导

手眼标定，说白了就是让机器人知道自己的眼睛（相机）和手（末端执行器）之间到底是什么关系。我刚开始接触这个课题时，觉得不就是两个坐标系之间的变换嘛，有什么难的？直到第一次在现场调试，相机装好了，机器人也动了，但抓取就是偏那么几毫米……嗯，从那以后我才真正重视起这个看似简单、实则坑不少的基础问题。

我们先从数学上把这个问题说清楚。手眼标定要解决的，本质上是一个矩阵方程：

AX = XB

这里：

你想想看，这个方程为什么成立？因为无论机器人怎么动，相机和末端的相对位姿是不变的。我习惯把这个关系叫做“闭环约束”——相机看到的棋盘格变化，必须和机器人实际运动一致，唯一的未知量就是X。

核心思想：通过多组不同位姿下的观测数据，求解一个不变的变换矩阵X。至少需要2组非平行的运动才能解出唯一解。

这两种配置，我在项目里都踩过坑。先看一张对比图：

这两种配置，标定方程的形式完全不同。我整理了一个对比表：

个人建议：如果项目对精度要求高（比如0.1mm以内），优先选眼在手上。因为相机离目标近，误差传递小。但要注意，末端负载增加了，机器人运动学参数可能受影响。

好，我们来看看这个AX=XB到底怎么来的。我习惯用“坐标系链”的思路来推，这样不容易乱。

先定义几个坐标系：

当机器人运动到两个不同位姿时，我们分别记录：

位姿1：B→E1（机器人正运动学），C→P1（相机外参）
位姿2：B→E2（机器人正运动学），C→P2（相机外参）

注意，标定板固定在末端，所以P相对于E是固定的。我们设这个固定变换为X_EP。那么：

P1 = X_EP * E1
P2 = X_EP * E2

同时，相机观测到的标定板位姿：

P1 = X_CB * C1
P2 = X_CB * C2

其中X_CB是相机到基座的变换（我们要求的X）。联立两式，消去P：

X_CB * C1 = X_EP * E1
X_CB * C2 = X_EP * E2

两式相减（或者说，用位姿2的逆乘位姿1），得到：

X_CB * (C2 * C1⁻¹) = (X_EP * E2) * (X_EP * E1)⁻¹
X_CB * A = B * X_CB

这里A = C2 * C1⁻¹（相机运动），B = E2 * E1⁻¹（机器人运动）。

关键点：A和B都是齐次变换矩阵（4×4），包含旋转和平移。求解X时，通常先解旋转部分（用罗德里格斯公式或四元数），再解平移部分。

眼在手上的推导思路类似，但坐标系链不同。这次标定板固定在工作台上，相机装在末端。设：

在位姿1和位姿2下，分别有：

P = E1 * X * C1⁻¹
P = E2 * X * C2⁻¹

两式相等：

E1 * X * C1⁻¹ = E2 * X * C2⁻¹

整理后同样得到：

AX = XB

只不过A和B的定义不同了。我当年第一次推导时，被这个“同一个方程、不同含义”绕晕过。后来我总结了一个口诀：“A是相机看到的运动，B是机器人自己动的运动，X是它们之间的桥梁”。

我曾经踩过的坑：推导时忘记把齐次矩阵的逆写对。记住，变换矩阵的逆不是简单的转置，旋转部分转置，平移部分要乘上旋转的转置再取负。这个细节错了，标定结果全废。

AX=XB的求解方法，我按使用频率排了个序：

我个人习惯先用两步法快速得到一个初值，再用非线性优化微调。这样既快又准。

避坑指南：采集数据时，让机器人做大幅度的旋转运动（至少30°以上），平移也要有。如果只做小范围运动，旋转部分解出来误差会很大。我曾经有一次偷懒，只让机器人动了10°，结果标定误差直接飙到5mm……

手眼标定的核心就三件事：