4. 相机内参标定原理：针孔模型、畸变模型与标定流程

相机内参标定，说白了就是搞清楚你的眼睛（镜头）到底是怎么看世界的。我刚开始接触3D视觉时，总觉得标定是个“玄学”——明明棋盘格摆得端端正正，结果就是不对。后来踩的坑多了，才明白这背后其实就两件事：针孔模型和畸变模型。

这一章，咱们就把这两个模型掰开揉碎，再聊聊标定的完整流程。你想想看，如果连相机怎么看世界都不清楚，后面的3D测量和抓取怎么可能准？

4.1 针孔模型——相机成像的“理想国”

针孔模型是最简单的成像模型。它假设光线从物体出发，穿过一个小孔，在后面的成像平面上形成倒像。这个模型虽然理想化，但它是所有标定算法的基础。

核心公式其实就一个投影关系：

// 世界坐标系到像素坐标系的映射
// [u, v, 1]^T = K * [R|t] * [X, Y, Z, 1]^T

// 其中 K 是内参矩阵：
// K = [fx,  0, cx;
//       0, fy, cy;
//       0,  0,  1]

这里 fx、fy 是焦距（以像素为单位），cx、cy 是主点坐标。说白了，内参矩阵就是描述“从相机坐标系到像素坐标系”的映射关系。

4.2 畸变模型——现实世界的“不完美”

我在项目中遇到过最头疼的问题，就是标定完发现边缘的测量误差特别大。后来一查，原来是畸变参数没调好。畸变主要分两类：径向畸变和切向畸变。

4.2.1 径向畸变

径向畸变是镜头曲率造成的。离光心越远，畸变越明显。它分为两种：

• 桶形畸变：图像边缘向外凸出，像桶一样。常见于广角镜头。
• 枕形畸变：图像边缘向内凹陷。常见于长焦镜头。

数学模型用泰勒级数展开：

x_corrected = x * (1 + k1 * r^2 + k2 * r^4 + k3 * r^6)
y_corrected = y * (1 + k1 * r^2 + k2 * r^4 + k3 * r^6)

其中 r 是像素到光心的距离，k1、k2、k3 是径向畸变系数。一般只用 k1 和 k2 就够了，k3 只在鱼眼镜头等极端情况下才用。

4.2.2 切向畸变

切向畸变是镜头和成像平面不平行造成的。说白了就是镜头装歪了。它的模型是：

x_corrected = x + [2 * p1 * x * y + p2 * (r^2 + 2 * x^2)]
y_corrected = y + [p1 * (r^2 + 2 * y^2) + 2 * p2 * x * y]

p1、p2 是切向畸变系数。我建议你在标定时，先只标径向畸变，如果残差还大，再考虑切向。因为切向畸变参数多了，容易过拟合。

4.3 标定流程——从采集到优化

标定流程就三步：采集 → 提取 → 优化。听起来简单，但每一步都有坑。

4.3.1 采集——标定板图像

采集标定板图像时，要注意几点：

• 数量：至少15-20张。太少的话，优化容易陷入局部最优。
• 姿态：标定板要覆盖视场的各个区域——左上、右下、中间、倾斜、旋转。我习惯让标定板占画面1/3到1/2，不要太满。
• 光照：均匀光照，避免反光。反光会导致角点提取不准。

4.3.2 提取——角点检测

提取角点是标定的关键步骤。Halcon 提供了 find_caltab 和 find_marks_and_pose 算子。我个人习惯用 find_caltab 先定位标定板，再用 find_marks_and_pose 提取角点。

* Halcon 标定板角点提取示例
read_image (Image, 'calibration_image_01')
find_caltab (Image, CaltabRegion, 'caltab_30mm.descr', 3, 112, 5)
find_marks_and_pose (Image, CaltabRegion, 'caltab_30mm.descr', 3, 112, 5, [], [], RCoord, CCoord, StartPose)

提取完成后，检查角点是否准确。如果角点偏移超过0.5像素，这张图就不要用了。

4.3.3 优化——最小化重投影误差

优化的目标是最小化重投影误差——也就是把3D点投影到图像上，和实际提取的2D点之间的像素距离。Halcon 使用 camera_calibration 算子进行优化。

* Halcon 相机标定优化
camera_calibration (CalibDataID, 'all', 'pose', Errors, 'calibration_object', 'caltab_30mm.descr')

优化完成后，检查 Errors 输出。一般平均重投影误差应小于0.1像素。如果大于0.3像素，说明标定质量有问题，需要重新采集或检查标定板。

4.4 知识结构总览

下面这张图，把相机内参标定的核心逻辑串起来了。你可以把它当作一个快速参考。

4.5 标定参数对比表

为了方便你快速查阅，我把标定涉及的主要参数整理成了表格：

参数	符号	说明	典型范围
焦距（x方向）	fx	以像素为单位的x方向焦距	500-5000
焦距（y方向）	fy	以像素为单位的y方向焦距	500-5000
主点（x方向）	cx	光心在x方向的像素坐标	图像宽度/2 ± 50
主点（y方向）	cy	光心在y方向的像素坐标	图像高度/2 ± 50
径向畸变系数1	k1	二阶径向畸变	-0.5 ~ 0.5
径向畸变系数2	k2	四阶径向畸变	-0.5 ~ 0.5
径向畸变系数3	k3	六阶径向畸变（鱼眼用）	-0.5 ~ 0.5
切向畸变系数1	p1	切向畸变	-0.1 ~ 0.1
切向畸变系数2	p2	切向畸变	-0.1 ~ 0.1