2. 相机标定基础：针孔模型、内参矩阵、畸变模型

做3D视觉抓取，第一步就是把相机“伺候”好。说白了，相机标定就是搞清楚两件事：光是怎么进来的，以及进来的光歪了多少。

我刚开始接触这个领域时，总觉得标定就是跑个脚本、打印个棋盘格就完事了。直到有一次在产线上，抓取精度死活差2毫米，查了三天才发现是畸变参数没给对。嗯，从那以后我再也不敢小看这一步了。

2.1 针孔模型——相机在“看”什么

先聊最基础的成像模型。你想想看，相机本质上就是一个黑盒子，前面开个小孔，光线穿过小孔在后面的感光元件上成像。这就是针孔模型。

数学上怎么描述这个过程？其实就三步：

1. 世界坐标系里有个点 P(X, Y, Z)
2. 光线穿过光心（小孔），投影到成像平面
3. 成像平面上的物理坐标，再映射到像素坐标

公式长这样：

λ * [u, v, 1]^T = K * [R | t] * [X, Y, Z, 1]^T

别被符号吓到。λ是个缩放因子，K是内参矩阵，[R|t]是外参。后面我们会一个个拆开讲。

2.2 内参矩阵——相机的“身份证”

内参矩阵K，我习惯叫它相机的“身份证”。它记录了相机内部固定的几个参数：

参数	符号	含义	单位
焦距	fx, fy	光心到成像平面的距离，x和y方向可能不同	像素
主点偏移	cx, cy	光轴与成像平面交点的像素坐标	像素
倾斜因子	s	像素坐标系x轴和y轴不垂直时的修正	无量纲

内参矩阵的完整形式：

K = [fx,  s, cx]
    [ 0, fy, cy]
    [ 0,  0,  1]

我在项目中遇到过一个问题：用同一个相机，换了不同分辨率模式，内参居然变了。为什么？因为fx = f / dx，其中dx是像素物理尺寸。分辨率变了，dx就变了，内参自然要重新标定。这个坑我踩过，提醒你注意。

2.3 畸变模型——镜头不是完美的

现实中的镜头，尤其是广角镜头，成像会有畸变。主要分两类：

• 径向畸变：光线通过镜头边缘时弯曲得更厉害，导致直线变弯。分为桶形畸变和枕形畸变。
• 切向畸变：镜头和成像平面不平行，导致图像倾斜。

畸变模型用多项式来描述：

径向畸变：
x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)

切向畸变：
x_distorted = x + [2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)]
y_distorted = y + [p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y]

其中r是点到光心的距离，k1、k2、k3是径向畸变系数，p1、p2是切向畸变系数。

2.4 标定流程——从棋盘格到参数

标定的核心思路：拍一张已知图案（棋盘格），检测角点，然后解方程求内参和畸变。

标准流程：

1. 打印棋盘格，贴在平整的板上
2. 从不同角度拍15-20张照片
3. 检测每张图的角点坐标
4. 用张正友标定法求解内参和畸变
5. 验证重投影误差

我用OpenCV实现过很多次，核心代码就这几行：

import cv2
import numpy as np

# 准备棋盘格角点坐标
pattern_size = (9, 6)  # 内角点数量
objp = np.zeros((pattern_size[0]*pattern_size[1], 3), np.float32)
objp[:,:2] = np.mgrid[0:pattern_size[0], 0:pattern_size[1]].T.reshape(-1,2)

# 收集所有图片的角点
objpoints = []  # 世界坐标
imgpoints = []  # 像素坐标

for fname in image_files:
    img = cv2.imread(fname)
    gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
    ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, pattern_size, None)
    if ret:
        objpoints.append(objp)
        imgpoints.append(corners)

# 标定
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(
    objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None
)

print("内参矩阵:\n", mtx)
print("畸变系数:\n", dist)

2.5 知识结构总览

下面这张图把本章的核心逻辑串起来了。你可以把它当作一个快速索引：

2.6 标定验证——别信一次结果

标定完不是就完事了。我每次都会做两件事：

• 重投影误差检查：把标定板角点投影回图像，算平均误差。小于0.3像素算优秀，0.5以内可接受。
• 实际测量验证：放一个已知尺寸的物体，用标定结果去测，看偏差是否在容忍范围内。

有一次标定结果重投影误差只有0.2像素，但实际测量差了1毫米。后来发现是标定板没贴平，有微小翘曲。所以实际验证比理论误差更重要。