📚 课程目录第2章坐标系与变换

2. 坐标系与变换：机器人基坐标系、工具坐标系、相机坐标系、标定板坐标系，齐次变换矩阵

做手眼标定，说白了就是搞清楚几个坐标系之间的相对位置关系。我刚开始接触这个领域时，觉得坐标系概念太抽象，直到在产线上被一个0.5毫米的偏差折磨了三天……嗯，从那以后我再也不敢轻视坐标系了。

手眼标定涉及四个坐标系。它们就像舞台上的四个演员，你得知道谁站在哪、面朝哪。

关键认知：标定的本质就是求解这些坐标系之间的变换矩阵。你想想看，机器人要抓一个物体，它得知道物体在基坐标系下的坐标，而物体位置又是相机看到的——这中间就需要一串变换链。

齐次变换矩阵是连接坐标系的数学工具。它长这样：

    ┌             ┐
    │ R   t │
T = │       │
    │ 0   1 │
    └             ┘

其中 R 是 3×3 旋转矩阵，t 是 3×1 平移向量。我个人习惯把齐次变换矩阵看作「坐标转换器」——把一个点从坐标系 A 转换到坐标系 B。

我的小技巧：写代码时，我习惯用 4×4 矩阵存储所有变换关系。虽然多了一行一维，但矩阵乘法可以直接串联变换，不用单独处理旋转和平移。这在标定算法里能省不少事。

一个典型的视觉引导抓取流程，变换链是这样的：

我曾经在一个项目中，忽略了标定板坐标系的原点定义，结果抓取偏差一直收敛不了。后来发现标定板坐标系的原点默认在左上角，而我用的算法假设原点在中心……嗯，这种细节最坑人。

假设我们有一个点 p，它在标定板坐标系下的坐标为 p_P。要把它转换到机器人基坐标系下，需要经过：

p_B = T_B_P * p_P

其中 T_B_P 是标定板到基坐标系的齐次变换矩阵。这个矩阵通常通过机器人正向运动学得到——机器人读取当前关节角，然后计算出末端位姿。

避坑指南：我曾经在项目中直接用机器人示教器上显示的位姿数据，没注意单位是毫米还是米。结果标定出来的矩阵全是错的。建议统一使用毫米，因为大多数工业机器人和标定板的物理尺寸都以毫米为单位。

根据相机安装位置，手眼标定分为两种：

我个人更常用眼在手上的构型，因为视野更灵活，但标定算法稍微复杂一点。眼在手外适合大范围静态场景，比如传送带上的工件定位。

标定过程中经常需要求变换矩阵的逆。比如已知 T_C_P（相机到标定板），想求 T_P_C（标定板到相机）：

T_P_C = inv(T_C_P)

其中：
R_P_C = R_C_P^T
t_P_C = -R_C_P^T * t_C_P

嗯，这里要注意：旋转矩阵的逆就是它的转置，但平移向量不能直接取负，得先旋转再取负。我见过不少新手在这里翻车。

我的习惯：写标定代码时，我会单独写一个 inverse_transform(T) 函数，而不是手动计算。这样既减少出错，代码也更容易维护。

坐标系和齐次变换矩阵是手眼标定的数学基础。你需要记住：