2. 坐标系基础：世界坐标系、机器人基坐标系、工具坐标系、相机坐标系、像素坐标系

做手眼标定，说白了就是搞清楚几个坐标系之间的亲戚关系。我刚开始接触这个领域时，被这五个坐标系绕得晕头转向。后来在一条汽车产线上调试视觉引导抓取，因为坐标系搞反了，机器人差点把相机撞了——嗯，从那以后我再也不敢轻视坐标系了。

2.1 五个核心坐标系

手眼标定涉及五个坐标系，它们各自有明确的定义和用途。我个人习惯把它们分成两组：物理世界组和视觉感知组。

坐标系	英文缩写	定义	典型原点
世界坐标系	World	全局参考系，描述所有物体的位置	产线固定点或场地角点
机器人基坐标系	Base	固定在机器人底座，描述机器人运动	机器人底座中心
工具坐标系	Tool / TCP	固定在机器人末端执行器	工具中心点（TCP）
相机坐标系	Camera	以相机光心为原点，Z轴沿光轴方向	相机光心
像素坐标系	Pixel / Image	图像平面上的二维坐标系	图像左上角

2.2 坐标系之间的变换关系

坐标系变换说白了就是旋转+平移。在三维空间中，我们用4×4齐次变换矩阵来描述这种关系。你想想看，一个点从坐标系A变换到坐标系B，公式长这样：

P_B = T_A→B · P_A

其中：
P_A = [x_A, y_A, z_A, 1]^T  — 点在A系下的齐次坐标
P_B = [x_B, y_B, z_B, 1]^T  — 点在B系下的齐次坐标
T_A→B = [R | t]             — 4×4齐次变换矩阵
  R: 3×3旋转矩阵
  t: 3×1平移向量

我曾经在项目里直接用欧拉角做旋转，结果标定精度死活上不去。后来换成四元数表示旋转，问题就解决了。这里建议你：计算用四元数，可视化用欧拉角。

2.3 核心变换链

在手眼标定中，我们最关心的是下面这条变换链。我画了一张图帮你理清关系：

2.4 两种常见配置

根据相机安装位置，手眼标定分为两种模式。我两种都做过，各有各的坑：

眼在手外（Eye-to-Hand）

相机固定安装，不随机器人运动。变换关系是：相机坐标系 → 机器人基坐标系。

• 优点：相机视野固定，标定一次管用很久
• 缺点：机器人运动范围可能遮挡视野
• 我曾经在焊接工位上遇到相机被机器人手臂挡住的情况，后来把相机架高了才解决

眼在手上（Eye-in-Hand）

相机安装在机器人末端，随工具一起运动。变换关系是：相机坐标系 → 工具坐标系。

• 优点：灵活，可以近距离观察工件细节
• 缺点：每次更换工具都要重新标定
• 注意：运动时相机抖动会影响标定精度

对比项	眼在手外	眼在手上
相机安装位置	固定支架	机器人末端
待求变换	T_Base→Camera	T_Tool→Camera
标定板位置	固定在机器人末端	固定在外部
典型应用	码垛、分拣	焊接、装配

2.5 像素坐标系与相机坐标系的映射

像素坐标是二维的，相机坐标是三维的。从3D到2D，我们靠的是相机内参。公式很简单：

u = fx * (X_c / Z_c) + cx
v = fy * (Y_c / Z_c) + cy

其中：
(u, v)     — 像素坐标
(X_c, Y_c, Z_c) — 相机坐标系下的3D点
fx, fy     — 焦距（像素单位）
cx, cy     — 主点偏移

2.6 坐标系变换的数学本质

说白了，所有坐标系变换都可以用链式法则串联起来。比如，从像素坐标反推世界坐标：

P_World = T_Camera→World · T_Pixel→Camera · P_Pixel

其中：
T_Camera→World = (T_World→Camera)^(-1)
T_Pixel→Camera 由相机内参决定

你想想看，这个链式法则就是手眼标定的数学基础。我们在后续章节中求解的AX = XB方程，本质上就是在解这个变换链中的未知环节。