4. 单相机外参标定：旋转矩阵与平移向量、相机位姿表示
外参标定，说白了就是搞清楚相机在世界坐标系里到底「站」在哪、朝哪个方向看。我刚开始做多相机系统时，总觉得内参更重要，外参随便算算就行。结果有一次把两个相机的旋转方向搞反了，重建出来的点云直接拧成了麻花……嗯，从那以后我再也不敢小看外参了。
这一章我们聚焦单相机的外参。你理解了它，四相机联合标定就完成了一半。
4.1 外参到底在描述什么？
外参包含两个部分：旋转矩阵 R 和 平移向量 t。它们共同完成一个任务——把世界坐标系下的点 Pw 转换到相机坐标系下：
P_c = R * P_w + t你可以这样理解：
- R：描述相机坐标系相对于世界坐标系的姿态（朝向）
- t：描述相机坐标系原点在世界坐标系中的位置
我个人习惯把外参看作「一个刚体变换」。相机固定在一个支架上，它相对于世界坐标系的旋转和平移，就是一组外参。
关键点：外参是 3×4 矩阵 [R|t] 的前 3 列是旋转，第 4 列是平移。它把世界点映射到相机坐标系，而不是反过来。
4.2 旋转矩阵：不只是 3×3 的数字
旋转矩阵 R 是一个 3×3 的正交矩阵，满足 RTR = I，且 det(R) = 1。它每一列都是单位向量，且两两正交。
我在项目中遇到过一个问题：用优化算法直接估计 R 的 9 个元素，结果矩阵不满足正交约束，重建出来的场景全是扭曲的。所以实际工程中，我们很少直接优化 R 的 9 个参数。
| 表示方式 | 自由度 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
| 旋转矩阵 R | 9（实际 3） | 直观、易组合 | 需满足正交约束 |
| 欧拉角 | 3 | 参数少、直观 | 万向锁、不连续 |
| 四元数 | 4 | 无奇点、易插值 | 需归一化 |
| 轴角 | 3 | 紧凑、几何意义明确 | 有奇点 |
4.3 欧拉角：直观但暗藏陷阱
欧拉角用三个角度表示旋转：绕 X 轴（roll）、绕 Y 轴（pitch）、绕 Z 轴（yaw）。听起来很简单对吧？
但这里有个坑——万向锁。当 pitch 接近 ±90° 时，roll 和 yaw 会失去一个自由度，导致旋转退化。我曾经在无人机云台标定中遇到过这个问题，pitch 角一过 85°，姿态解算就开始乱跳。
避坑指南：如果你用欧拉角做优化变量，一定要限制 pitch 范围在 ±80° 以内，或者干脆换用四元数。我曾经因为没注意这个，浪费了整整两天调试时间。
另外，欧拉角的旋转顺序也很关键。常见的顺序有 ZYX、XYZ、ZYZ 等。不同顺序得到的角度值完全不同。你想想看，如果标定程序用 ZYX，而你的算法用 XYZ，那结果肯定对不上。
4.4 四元数：SLAM 工程师的最爱
四元数 q = (w, x, y, z) 是一种超复数，满足 w² + x² + y² + z² = 1。它用 4 个参数表示 3 个自由度的旋转，没有奇点，而且插值平滑。
我个人在 SLAM 项目中几乎只用四元数。原因很简单：
- 优化时不需要额外约束（只要归一化）
- 组合旋转用乘法，比矩阵快
- 插值（Slerp）非常平滑
四元数到旋转矩阵的转换公式：
R = [
[1-2(y²+z²), 2(xy-wz), 2(xz+wy)],
[2(xy+wz), 1-2(x²+z²), 2(yz-wx)],
[2(xz-wy), 2(yz+wx), 1-2(x²+y²)]
]小技巧：实际编码时，直接用 Eigen 或 OpenCV 的 Rodrigues 函数转换，别手写矩阵。我见过太多人把符号写反了。
4.5 平移向量：别忽略尺度
平移向量 t = (tx, ty, tz)T 表示相机光心在世界坐标系中的位置。单位通常和标定板尺寸一致（比如毫米）。
这里有个容易忽略的点：平移向量的尺度。如果你用棋盘格标定，格子大小是 30mm，那 t 的单位就是 mm。如果你用二维码标定，尺寸是 5cm，那 t 的单位就是 cm。混用单位会导致重建结果完全不对。
我记得有一次帮同事排查问题，他标定出来的外参总是偏大 10 倍。查了半天，原来是标定板尺寸写成了 3cm，实际是 30mm。嗯，这种低级错误其实很常见。
4.6 本章知识结构
下面这张图帮你理清外参标定的核心逻辑：
4.7 实战：从棋盘格计算外参
实际标定时，我们通常用 PnP（Perspective-n-Point）算法从 2D-3D 对应点求解外参。OpenCV 提供了 solvePnP 函数：
// 输入：3D 世界点、2D 图像点、内参矩阵、畸变系数
// 输出：旋转向量 rvec、平移向量 tvec
cv::Mat rvec, tvec;
cv::solvePnP(objectPoints, imagePoints, cameraMatrix, distCoeffs, rvec, tvec);
// 将旋转向量转为旋转矩阵
cv::Mat R;
cv::Rodrigues(rvec, R);注意：solvePnP 默认使用迭代法，对初始值敏感。如果标定板在图像边缘，建议先用 solvePnPRansac 做鲁棒估计。
我个人习惯在标定前先检查一下 2D 点提取的精度。如果角点检测有 1 个像素的误差，外参的旋转误差可能达到 0.1°。对于四相机系统，0.1° 的误差在 2 米外就会产生 3.5mm 的偏差——这已经很大了。
4.8 避坑总结
- 旋转矩阵：别直接优化 9 个参数，用四元数或轴角
- 欧拉角：注意万向锁，限制 pitch 范围
- 四元数：记得归一化，否则矩阵不正交
- 平移向量：统一单位，别混用 mm 和 cm
- PnP 求解：用 RANSAC 版本抗噪
外参标定是四相机联合标定的基石。你把这个单相机的外参搞清楚了，后面把四个相机的外参统一到一个世界坐标系下，就只是矩阵乘法的事了。