3. 单相机内参标定：张正友标定法原理、棋盘格角点检测、内参矩阵与畸变系数

单相机内参标定，说白了就是搞清楚你的相机到底是怎么「看」世界的。每个镜头都有脾气——焦距多少、光心偏不偏、画面边缘有没有变形。这些参数不标定清楚，后面四个相机联合起来肯定乱套。

我刚开始做多相机系统时，觉得内参标定就是个例行公事，随便拍几张棋盘格跑一下就行。结果有一次，四个相机各自标定完，拼接出来的全景图在接缝处总是对不齐。折腾了两天，最后发现是其中一个相机的畸变系数没收敛好。嗯，从那以后我再也不敢小看这一步了。

3.1 张正友标定法：为什么它成了行业标准？

张正友标定法，核心思路其实很巧妙——你不需要知道棋盘格在空间中的精确位置，只需要它是个平面。你拿着棋盘格在相机前变换姿态，算法就能从多张图像中解出内参。

为什么这招管用？因为棋盘格上的角点坐标是已知的（比如每个格子30mm），它们在图像上的投影位置又可以被检测到。每张图像提供一个单应性矩阵，多个单应性矩阵联立，就能把内参约束出来。

我个人习惯用至少15-20张不同姿态的棋盘格图像。太少的话，内参容易过拟合，尤其是畸变系数。

3.2 棋盘格角点检测：从图像到亚像素坐标

角点检测是标定的第一步，也是最容易出问题的一步。你想想看，如果角点坐标本身就有偏差，后面算出来的内参能准吗？

OpenCV里用的是cv::findChessboardCorners()，它的大致流程是这样的：

1. 图像预处理：转灰度、自适应阈值化，增强棋盘格对比度
2. 四边形检测：找到图像中所有可能的四边形区域
3. 棋盘格拓扑验证：检查四边形是否按棋盘格规律排列（黑白交替）
4. 角点精化：用cv::cornerSubPix()把角点坐标推到亚像素精度

这里有个坑——我曾经遇到过棋盘格反光太强，导致部分角点被高光淹没。检测出来的角点数量不对，程序直接报错。后来我加了一条经验规则：

亚像素精化这一步很多人会忽略。实际上，cornerSubPix()用的是灰度梯度法，在角点附近拟合一个鞍点模型，精度能从像素级提升到0.1像素以内。我建议迭代次数设到30，终止精度设到0.001。

3.3 内参矩阵：相机是如何投影的？

内参矩阵K，就是描述相机内部几何结构的3x3矩阵。它长这样：

K = [fx,  0, cx
      0, fy, cy
      0,  0,  1]

其中：

• fx, fy：焦距，单位是像素。注意，它不是物理焦距（毫米），而是物理焦距除以像元尺寸。比如焦距12mm，像元大小3.45μm，那fx ≈ 12 / 0.00345 ≈ 3478像素
• cx, cy：光心坐标，理论上在图像正中心，但实际会有偏移

为什么fx和fy可能不一样？因为CMOS的像元不一定是正方形。我遇到过一些工业相机，像元是矩形，fx和fy能差出1-2%。如果不标定出来，后续的三维重建会引入系统性误差。

内参矩阵的作用，就是把相机坐标系下的三维点投影到像素平面。公式很简单：

s * [u, v, 1]^T = K * [X_c, Y_c, Z_c]^T

s是尺度因子，因为深度信息在投影过程中丢失了。

3.4 畸变系数：镜头不是完美的

没有镜头是完美的。畸变主要分两类：

畸变类型	产生原因	数学模型	典型表现
径向畸变	透镜曲面不完美	k1, k2, k3	画面边缘直线变弯（桶形/枕形）
切向畸变	镜头与CMOS不平行	p1, p2	画面倾斜，像被拧了一下

OpenCV里常用的畸变模型是5参数模型：(k1, k2, p1, p2, k3)。k3一般只在鱼眼镜头或畸变很大的广角镜头里才需要。普通镜头用4参数（k1, k2, p1, p2）就够了。

3.5 标定流程与质量评估

完整的单相机内参标定流程，我一般这么走：

1. 采集图像：15-20张，覆盖画面各个区域，姿态包括俯仰、旋转、平移
2. 角点检测：检查每张图的角点是否全部正确检出
3. 初始估计：用封闭解计算内参和畸变的初值
4. 非线性优化：用Levenberg-Marquardt算法最小化重投影误差
5. 质量评估：检查重投影误差，一般应小于0.5像素

重投影误差是衡量标定质量的核心指标。它的含义是：把棋盘格上的三维角点，用标定出的内参和畸变系数投影回图像，和实际检测到的角点位置差多少。平均误差小于0.3像素算优秀，0.5像素以内可接受，超过1像素就要重新标定了。

3.6 本章知识结构

下面这张图把单相机内参标定的核心逻辑串起来了。从棋盘格图像出发，经过角点检测、单应性矩阵求解、内参估计、畸变优化，最后得到完整的内参和畸变系数。每一步都有对应的OpenCV函数和注意事项。

3.7 实战中的几个关键细节

最后分享几个我在项目中踩过的坑，希望能帮你少走弯路：

• 棋盘格不要太小：在图像中至少占1/4画面，否则角点间距太近，亚像素精化效果差
• 姿态要丰富：不要只拍正对着相机的姿态，要多拍倾斜、旋转、靠近边缘的。我一般会拍一组「绕X轴转」、「绕Y轴转」、「前后移动」的组合
• 剔除坏图：如果某张图的角点检测明显不准（比如边缘角点偏移），果断删掉。10张好图比20张烂图强
• 检查重投影误差分布：不要只看平均值，要看每张图的误差。如果某张图误差特别大，说明那张图的姿态或角点有问题