4. 相机标定原理：张正友标定法

相机标定，说白了就是给相机做一次「视力矫正」。

你想想看，相机镜头不是完美的。光线穿过透镜会发生折射，传感器也不一定完全平行。这些偏差会导致图像变形——直线变弯、矩形变鼓。做手眼标定之前，必须先把相机本身的「脾气」摸清楚。

我个人习惯把标定分成两步：先算内参（焦距、主点），再算畸变系数（径向、切向）。张正友标定法是目前最主流的做法，用棋盘格就能搞定。

4.1 棋盘格标定板

棋盘格长什么样？就是黑白相间的方格阵列。我刚开始做项目时，直接打印一张A4纸贴在硬纸板上。后来发现，打印精度和平面度都会影响结果。

棋盘格的关键参数：

• 内角点数：比如 9×7 的棋盘，内角点是 8×6。注意是「内角」，不是格子数。
• 方格尺寸：必须精确测量，单位毫米。我一般用游标卡尺量三次取平均。
• 拍摄姿态：至少 10-20 张不同角度、不同距离的图片。倾斜、旋转、平移都要有。

4.2 单应性矩阵

张正友标定法的核心，就是利用棋盘格平面到成像平面的单应性关系。

什么是单应性矩阵？简单说，它描述了两个平面之间的投影变换。在标定场景里，一个是棋盘格所在的物理平面（世界坐标系 Z=0），另一个是相机成像平面。

数学上，单应性矩阵 H 是一个 3×3 的矩阵：

s * [u, v, 1]^T = H * [X, Y, 1]^T

其中：

• (u, v) 是图像坐标
• (X, Y) 是棋盘格上的物理坐标
• s 是尺度因子
• H 包含内参和外参的混合信息

每张棋盘格图片，都能算出一个 H。我一般用 OpenCV 的 findHomography 函数，输入至少 4 个对应点就能解。但实际项目中，我会用所有内角点做最小二乘，精度更高。

4.3 内参求解

内参矩阵 K 长这样：

K = [fx,  0, cx;
      0, fy, cy;
      0,  0,  1]

其中 fx、fy 是焦距（像素单位），cx、cy 是主点坐标（光轴与成像平面的交点）。

张正友的解法很巧妙。他从单应性矩阵 H 中提取约束方程，利用旋转矩阵的正交性，构建线性方程组。具体步骤：

1. 对每张图片计算 H
2. 从 H 中提取关于内参的约束
3. 构建超定方程组，用最小二乘求解
4. 得到内参的闭式解

我记得第一次手动推导这个流程时，被矩阵运算绕晕了。后来直接用 OpenCV 的 calibrateCamera，一行代码搞定。但理解原理很重要——遇到标定失败时，你知道该查哪里。

4.4 畸变系数求解

畸变主要分两类：

• 径向畸变：光线通过透镜边缘时弯曲更严重，导致图像边缘向内（桶形）或向外（枕形）扭曲
• 切向畸变：透镜和传感器不平行，导致图像倾斜

张正友标定法用多项式模型来拟合畸变：

x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + [2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)]
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + [p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y]

其中：

• k1、k2、k3 是径向畸变系数
• p1、p2 是切向畸变系数
• r^2 = x^2 + y^2

求解过程是这样的：先用线性方法算出内参，然后固定内参，用非线性优化（比如 Levenberg-Marquardt）迭代求解畸变系数。

标定完成后，可以用 undistort 函数矫正图像。我习惯先看一眼矫正前后的对比图：棋盘格边缘的直线应该变直，否则标定参数有问题。

4.5 标定质量评估

标定完了，怎么知道结果好不好？

我最常用的指标是重投影误差。就是把棋盘格上的物理点，用标定出的内参和畸变系数重新投影到图像上，算算和实际检测到的角点差多少像素。

影响标定精度的常见因素：

• 图片数量太少（< 10 张）
• 棋盘格姿态变化不够（全是正面）
• 棋盘格平面度差（纸板弯曲）
• 光照不均匀导致角点检测偏移

嗯，标定这件事，看起来简单，做起来全是细节。我刚开始做的时候，标定了十几次才拿到满意的结果。后来总结出一套流程：先拍 20 张，跑一次标定，看重投影误差，剔除误差最大的几张，再跑一次。反复两三轮，基本就能稳定在 0.3 像素以内。