第2章 图像梯度基础

2.1 图像梯度的数学概念

图像梯度本质上是像素强度在空间上的变化率。对于连续函数 f(x, y)，梯度向量定义为：

在数字图像中，我们用离散差分近似偏导数。梯度幅值表示边缘强度，梯度方向垂直于边缘走向。

2.2 一阶导数与二阶导数

一阶导数：检测边缘的位置（极值点）。常用算子：Sobel、Prewitt、Roberts。

二阶导数：通过零交叉定位边缘，对噪声更敏感。典型算子：Laplacian。

一阶导数产生“粗”边缘，二阶导数能更精确地定位边缘中心，但容易放大噪声。

2.3 梯度幅值与方向的计算

给定水平梯度 G_x 和垂直梯度 G_y，幅值和方向为：

实际计算中常用值近似幅值：|G| ≈ |G_x| + |G_y| 以提升速度。

Python 实现：梯度幅值与方向

import cv2
import numpy as np

# 读取灰度图像
img = cv2.imread('example.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 计算一阶梯度 (Sobel)
grad_x = cv2.Sobel(img, cv2.CV_64F, 1, 0, ksize=3)
grad_y = cv2.Sobel(img, cv2.CV_64F, 0, 1, ksize=3)

# 梯度幅值
magnitude = np.sqrt(grad_x**2 + grad_y**2)
# 梯度方向 (弧度)
angle = np.arctan2(grad_y, grad_x)

# 将幅值归一化到 0~255
magnitude = cv2.normalize(magnitude, None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX).astype(np.uint8)
print("梯度幅值形状:", magnitude.shape)

方向角通常用于非极大值抑制（Canny 边缘检测的核心步骤），将连续角度离散为 0°、45°、90°、135°。

常见一阶梯度算子对比