第3章 · 图像梯度与导数

1. 一阶导数与二阶导数

图像可以视为二元函数 f(x, y)，导数描述灰度变化率。一阶导数检测边缘的存在（变化剧烈处），二阶导数的零交叉点对应边缘中心。离散图像中，差分近似微分：

2. Sobel算子

Sobel 结合高斯平滑与差分，对噪声有抑制作用。常用 3×3 核：

梯度幅值 |G| = √(Gx² + Gy²)，方向 θ = atan2(Gy, Gx)。

3. Scharr算子

Scharr 算子优化了旋转对称性，对弱边缘响应更强。3×3 核系数：

相比 Sobel，Scharr 各向同性更优，适合需要精确梯度方向的场景。

4. 梯度幅值与方向计算

对每个像素，合并 Gx 与 Gy 得到幅值图和方向图。方向通常量化为 0°, 45°, 90°, 135°。

OpenCV 快速实现

import cv2
import numpy as np

img = cv2.imread('example.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# Sobel
sobel_x = cv2.Sobel(img, cv2.CV_64F, 1, 0, ksize=3)
sobel_y = cv2.Sobel(img, cv2.CV_64F, 0, 1, ksize=3)
mag = np.sqrt(sobel_x**2 + sobel_y**2)
phase = np.arctan2(sobel_y, sobel_x)

# Scharr (ksize=-1 自动使用 Scharr)
scharr_x = cv2.Sobel(img, cv2.CV_64F, 1, 0, ksize=-1)
scharr_y = cv2.Sobel(img, cv2.CV_64F, 0, 1, ksize=-1)

5. 算子对比总结