2. 针孔相机模型：成像原理、内参矩阵与畸变模型

说到相机标定，咱们得先搞清楚一件事：相机到底是怎么看到世界的？

你可能会觉得这问题太基础了。但说实话，我在做SLAM的初期，就因为对成像模型理解不够深，吃过不少亏。有一次标定出来的内参，怎么看怎么不对劲，折腾了两天才发现——我用的畸变模型跟相机实际的不匹配。

所以这一章，咱们把针孔相机模型彻底聊透。从原理到数学，再到实际工程中的坑，一步到位。

2.1 针孔成像：最简单的相机

针孔相机模型，说白了就是一个小黑盒，前面戳个针孔，后面放个感光平面。光线从物体上反射过来，穿过针孔，在后面的平面上形成一个倒立的像。

这个模型虽然简单，但它抓住了成像的本质：3D世界到2D图像的投影。

实际相机当然不是真的用针孔，而是用透镜。但透镜会引入畸变，这个我们后面再聊。先把这个理想模型吃透。

2.2 从世界到像素：四个坐标系的变换

一个3D点怎么变成图像上的像素？中间要经过四次坐标变换。我习惯把这四个步骤记成一张流程图：

2.3 内参矩阵：相机的"基因"

内参矩阵K，是相机最核心的参数。它描述了从归一化平面到像素坐标的映射关系。

数学形式长这样：

K = [fx  0  cx]
    [ 0  fy  cy]
    [ 0   0   1]

四个参数各司其职：

参数	含义	工程影响
fx	x方向焦距（像素单位）	决定图像水平方向的缩放
fy	y方向焦距（像素单位）	决定图像垂直方向的缩放
cx	主点x坐标（像素）	光轴与成像平面的交点
cy	主点y坐标（像素）	通常接近图像中心，但不完全

2.4 畸变模型：现实总是不完美的

针孔模型是理想情况。但实际相机用了透镜，透镜就会引入畸变。说白了，就是图像变形了。

畸变主要分两类：

2.4.1 径向畸变

这是最常见的畸变。光线经过透镜边缘时，弯曲程度跟中心不一样，导致图像边缘的直线变弯。

• 桶形畸变：图像向外膨胀，像桶一样。广角镜头常见。
• 枕形畸变：图像向内收缩，像枕头。长焦镜头常见。

数学上用泰勒级数来建模：

x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)

其中 r^2 = x^2 + y^2，k1、k2、k3 是径向畸变系数。

2.4.2 切向畸变

这个畸变是因为透镜和成像平面不平行造成的。说白了，就是镜头装歪了。

数学形式：

x_distorted = x + [2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)]
y_distorted = y + [p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y]

p1、p2 是切向畸变系数。

2.5 完整的畸变校正流程

在实际工程中，我们拿到一张图像，第一步往往就是做畸变校正。流程如下：

1. 获取原始像素坐标 (u, v)
2. 反算到归一化平面：x = (u - cx)/fx, y = (v - cy)/fy
3. 计算畸变量：用上面提到的径向和切向公式
4. 得到校正后的归一化坐标
5. 重新投影到像素坐标

代码实现大概长这样：

def undistort_point(u, v, K, dist_coeffs):
    fx, fy, cx, cy = K[0,0], K[1,1], K[0,2], K[1,2]
    k1, k2, p1, p2, k3 = dist_coeffs
    
    # 归一化坐标
    x = (u - cx) / fx
    y = (v - cy) / fy
    
    # 计算畸变
    r2 = x*x + y*y
    r4 = r2*r2
    r6 = r4*r2
    
    # 径向畸变
    k_radial = 1 + k1*r2 + k2*r4 + k3*r6
    x_rad = x * k_radial
    y_rad = y * k_radial
    
    # 切向畸变
    x_corr = x_rad + 2*p1*x*y + p2*(r2 + 2*x*x)
    y_corr = y_rad + p1*(r2 + 2*y*y) + 2*p2*x*y
    
    # 投影回像素
    u_corr = x_corr * fx + cx
    v_corr = y_corr * fy + cy
    
    return u_corr, v_corr

2.6 工程中的常见问题

做标定和畸变校正时，有几个坑我踩过，分享给你：

问题	现象	解决方案
标定板图像太少	内参不稳定，每次标定结果差异大	至少拍15-20张不同角度的标定板图像
标定板占画面比例太小	畸变参数不准	让标定板覆盖画面1/3以上
忽略切向畸变	图像有梯形变形	工业相机一定要标定p1、p2
畸变模型选错	校正后边缘仍有弯曲	鱼眼镜头用专门模型，别用普通针孔

2.7 小结

针孔相机模型是整个多视角几何的基石。内参矩阵描述了相机的"基因"，畸变模型修正了现实的不完美。理解透这两块，后面的立体匹配、三角化、BA优化才能走得稳。

嗯，这一章就到这里。记住：标定不是一次性的活，相机温度变化、镜头松动都会导致内参漂移。定期重新标定，是个好习惯。