4. 相机外参矩阵：旋转矩阵R与平移向量t

好，我们继续往下走。前面聊完了内参，说白了就是相机自己“肚子里的那点事”——焦距、主点、畸变。但相机是放在世界里的，它得知道“我在哪”、“我在看哪”。这就是外参要解决的问题。

外参矩阵，本质上就是一个刚体变换。它把世界坐标系里的一个点，映射到相机坐标系里。我习惯这么理解：世界坐标系是“上帝视角”，相机坐标系是“我眼里的世界”。外参就是连接这两个视角的桥梁。

4.1 刚体变换：旋转 + 平移

刚体变换，说白了就是物体只做旋转和平移，不发生形变。你想想看，你把手机从桌上拿到手里，手机本身没变形吧？这就是刚体变换。

数学上，一个刚体变换可以拆成两部分：

• 旋转矩阵 R：描述坐标轴的朝向变化。3x3 的矩阵，正交且行列式为 +1。
• 平移向量 t：描述坐标系原点的位置偏移。3x1 的向量。

所以，从世界坐标 P_w 到相机坐标 P_c 的映射就是：

Pc = R * Pw + t

嗯，这里要注意，这个公式是世界点转到相机坐标系。很多初学者会搞反方向，我刚开始也栽过这个坑。

4.2 旋转矩阵 R 的细节

旋转矩阵 R 有 9 个元素，但自由度只有 3。为什么？因为它必须满足两个约束：

1. 正交性：R^TR = I，即矩阵的列向量两两正交。
2. 行列式为 +1：保证是右手系，不产生镜像。

我在项目中遇到过一个问题：标定出来的 R 矩阵行列式不是 +1，而是 -1 或者 0.999。这通常是因为标定数据有噪声，或者标定板角点检测出了偏差。我的处理方式是：用 SVD 分解强制正交化。

import numpy as np
U, _, Vt = np.linalg.svd(R)
R_ortho = U @ Vt
# 如果行列式为 -1，调整最后一列符号
if np.linalg.det(R_ortho) < 0:
    Vt[-1, :] *= -1
    R_ortho = U @ Vt

4.3 平移向量 t 的物理意义

平移向量 t 不是世界坐标系原点的位置，而是相机坐标系原点在世界坐标系中的位置的负值，再经过旋转。公式上：

t = -R * Cw

其中 C_w 是相机光心在世界坐标系中的坐标。

说白了，t 告诉你：从相机看出去，世界原点在哪。我习惯在调试时直接打印 t 的数值，看看它是不是在合理范围内。比如标定一个桌面上的相机，t 的 z 分量应该是相机到桌面的距离，单位是毫米或米。

4.4 从世界坐标系到相机坐标系的完整映射

把旋转和平移合在一起，我们通常写成齐次坐标形式：

| Xc |   | R11 R12 R13 t1 |   | Xw |
| Yc | = | R21 R22 R23 t2 | * | Yw |
| Zc |   | R31 R32 R33 t3 |   | Zw |
|  1  |   |  0    0    0    1  |   |  1  |

这个 4x4 矩阵就是外参矩阵，也叫相机位姿矩阵。它把世界坐标系下的齐次点，映射到相机坐标系下。

我曾经在做一个多相机拼接项目时，发现两个相机的拼接缝总是对不齐。排查了半天，最后发现是其中一个相机的外参矩阵里的 R 写反了——我用了 R^T 而不是 R。嗯，从那以后我每次都会检查：用外参把几个已知的世界坐标点投影到图像上，看看是不是在正确位置。

4.5 外参矩阵的几何意义

外参矩阵的每一列都有几何意义：

• R 的第一列：世界坐标系 X 轴在相机坐标系中的方向向量
• R 的第二列：世界坐标系 Y 轴在相机坐标系中的方向向量
• R 的第三列：世界坐标系 Z 轴在相机坐标系中的方向向量
• t：世界坐标系原点在相机坐标系中的位置

你想想看，如果你知道了这三个轴的方向和原点的位置，你是不是就知道了相机相对于世界的完整位姿？这就是外参矩阵的直观理解。

下面我画了一张图，帮你理清整个映射流程：