3. 相机内参矩阵：K矩阵与畸变参数

聊到相机标定，内参矩阵K和畸变参数是绕不开的核心。说白了，它们就是相机的“身份证”——告诉你这台相机到底是怎么看世界的。

我刚开始做视觉的时候，总觉得内参就是个公式，套进去算就行。直到有一次做多相机拼接，图像边缘怎么都对不齐，折腾了两天才发现是畸变参数没标对。从那以后，我对这两个东西就特别上心。

3.1 内参矩阵K的定义

内参矩阵K，描述的是从相机坐标系到像素坐标系的映射关系。它长这样：

K = [fx  0  cx]
    [ 0  fy  cy]
    [ 0   0   1]

四个关键参数：

• fx, fy：焦距在x和y方向上的像素度量。单位是像素，不是毫米。
• cx, cy：主点坐标，也就是光轴与成像平面的交点。理想情况下在图像中心，但实际总有偏差。

你可能会问：为什么焦距会有两个值？

嗯，这是因为传感器像素不一定是正方形的。我见过不少工业相机，fx和fy能差出好几个像素。如果你做高精度测量，这个差异不能忽略。

3.2 畸变参数：为什么图像会变形？

理想情况下，相机成像遵循小孔成像模型。但现实中的镜头不是完美的——光线经过透镜会发生弯曲，这就产生了畸变。

畸变主要分两类：

3.2.1 径向畸变

径向畸变是镜头本身形状导致的。离光轴越远，畸变越明显。我习惯把它想象成“镜头边缘的放大率跟中心不一样”。

数学上用三个参数描述：k1, k2, k3。

• k1：主要畸变系数，影响最大
• k2：高阶畸变系数，修正边缘
• k3：用于大畸变镜头（比如鱼眼），一般标定用不到

径向畸变有两种表现：

类型	现象	k1符号
桶形畸变	图像向外凸出，像吹气球	负值
枕形畸变	图像向内凹陷，像枕头	正值

3.2.2 切向畸变

切向畸变是镜头和传感器不平行导致的。说白了就是“镜头装歪了”。

用两个参数描述：p1, p2。

• p1：x方向的切向畸变
• p2：y方向的切向畸变

切向畸变在工业相机中比较常见。我曾经遇到过一台相机，p1值特别大，拆开一看，镜头座里有个垫片装反了。重新装配后，p1直接降了一个数量级。

3.3 畸变校正的数学过程

标定得到畸变参数后，校正过程其实不复杂：

1. 对每个像素坐标(x, y)，计算其到主点的归一化距离r
2. 用畸变公式计算校正后的坐标
3. 重新采样得到校正图像

畸变校正公式：

x_corrected = x * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶) + 2*p1*x*y + p2*(r² + 2*x²)
y_corrected = y * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶) + p1*(r² + 2*y²) + 2*p2*x*y

看着有点吓人？其实核心就两部分：径向部分用多项式修正，切向部分用偏移量修正。

3.4 内参与畸变的关系

内参和畸变参数是“捆绑销售”的。标定时，它们一起被优化求解。

我个人习惯把标定结果存成这样的结构：

{
  "camera_matrix": {
    "fx": 825.43,
    "fy": 824.97,
    "cx": 640.12,
    "cy": 360.08
  },
  "distortion_coefficients": {
    "k1": -0.283,
    "k2": 0.073,
    "p1": 0.0012,
    "p2": -0.0008,
    "k3": -0.015
  }
}

你看，fx和fy很接近，说明传感器像素接近正方形。k1为负，典型的桶形畸变。p1和p2都很小，说明镜头安装得还不错。

3.5 本章知识结构

下面这张图把内参矩阵和畸变参数的关系梳理清楚了：

3.6 避坑指南

最后分享几个我踩过的坑：

• 标定板要覆盖整个视野：我曾经只拍了中心区域的标定板，结果边缘畸变完全没标出来，拼接时边缘全对不上。
• 不要用单张图标定：至少10-20张不同角度的图，否则内参和畸变会耦合在一起，结果不可靠。
• 检查重投影误差：标定完成后，看一眼重投影误差。一般小于0.5像素算合格，大于1像素就要重新标了。

内参矩阵和畸变参数，是相机标定的“基本功”。搞懂了它们，后面的图像拼接和三维重建才能站得稳。嗯，这一章就到这里。